En matemáticas , más específicamente en topología general , el cubo de Tychonoff es la generalización del cubo unitario del producto de un número finito de intervalos unitarios al producto de un número infinito, incluso incontable, de intervalos unitarios. El cubo de Tychonoff lleva el nombre de Andrey Tychonoff , quien consideró por primera vez el producto arbitrario de los espacios topológicos y demostró en la década de 1930 que el cubo de Tychonoff es compacto . Tychonoff luego generalizó esto al producto de colecciones de espacios compactos arbitrarios. Este resultado ahora se conoce como teorema de Tychonoffy se considera uno de los resultados más importantes en topología general. [1]
Definición
Dejar denotar el intervalo unitario . Dado un número cardinal , definimos un cubo de peso de Tychonoff como el espacio con la topología del producto , es decir, el producto dónde es la cardinalidad de y, para todos , .
El cubo de Hilbert ,, es un caso especial de un cubo de Tychonoff.
Propiedades
El axioma de elección se asume en todo momento.
- El cubo de Tychonoff es compacto.
- Dado un número cardinal , el espacio es incrustable en.
- El cubo de Tychonoff es un espacio universal para cada espacio compacto de peso .
- El cubo de Tychonoff es un espacio universal para cada espacio de peso de Tychonoff .
- El carácter de es .
Ver también
- Tablón de Tychonoff : el producto topológico de los dos espacios ordinales y , dónde es el primer ordinal infinito yel primer ordinal incontable
- Línea larga (topología) : una generalización de la línea real a partir de un número contable de segmentos de línea [0, 1) colocados de extremo a extremo hasta un número incontable de dichos segmentos.
Referencias
- Ryszard Engelking , Topología general , Heldermann Verlag, Serie Sigma en matemáticas puras, diciembre de 1989, ISBN 3885380064 .