En el análisis funcional , la topología ultrafuerte , o topología σ-fuerte , o la topología más fuerte en el conjunto B (H) de operadores acotados en un espacio de Hilbert es la topología definida por la familia de seminormas
para elementos positivos del predual que consta de operadores de clase de seguimiento . [1] : 68
Fue introducido por John von Neumann en 1936. [2]
Relación con la topología fuerte (operador)
La topología ultrafuerte es similar a la topología fuerte (operador). Por ejemplo, en cualquier conjunto delimitado por normas, las topologías de operador fuerte y ultrafuerte son las mismas. La topología ultrafuerte es más fuerte que la topología de operador fuerte.
Un problema con la topología de operador fuerte es que el dual de B (H) con la topología de operador fuerte es "demasiado pequeño". La topología ultrafuerte soluciona este problema: el dual es el B * (H) predual completo de todos los operadores de clase de rastreo. En general, la topología ultrafuerte es mejor que la topología de operador fuerte, pero es más complicada de definir, por lo que las personas suelen utilizar la topología de operador fuerte si pueden salirse con la suya.
La topología ultrafuerte se puede obtener a partir de la topología de operador fuerte de la siguiente manera. Si H 1 es un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable, entonces B (H) se puede incrustar en B ( H ⊗ H 1 ) tensorizando con el mapa de identidad en H 1 . Entonces, la restricción de la topología de operador fuerte en B ( H ⊗ H 1 ) es la topología ultrafuerte de B (H) . Equivalentemente, lo da la familia de seminormas.
dónde . [1] : 68
El mapa adjunto no es continuo en la topología ultrafuerte. Existe otra topología llamada topología ultrafuerte *, que es la topología más débil, más fuerte que la topología ultrafuerte, de modo que el mapa adjunto es continuo. [1] : 68
Ver también
Referencias
- ↑ a b c Takesaki, Masamichi (2002). Teoría de las álgebras de operadores. Yo . Berlín : Springer-Verlag. ISBN 3-540-42248-X.
- ^ von Neumann, John (1936), "Sobre una cierta topología para anillos de operadores", Annals of Mathematics , Segunda serie, 37 (1): 111-115, doi : 10.2307 / 1968692 , JSTOR 1968692
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .