conjunto incontable
En matemáticas , un conjunto incontable (o conjunto incontablemente infinito ) [1] es un conjunto infinito que contiene demasiados elementos para ser contable . La incontabilidad de un conjunto está íntimamente relacionada con su número cardinal : un conjunto es incontable si su número cardinal es mayor que el del conjunto de todos los números naturales .
Hay muchas caracterizaciones equivalentes de incontabilidad. Un conjunto X es incontable si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
Las tres primeras de estas caracterizaciones pueden demostrarse equivalentes en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección , pero la equivalencia de la tercera y la cuarta no puede demostrarse sin principios de elección adicionales.
El ejemplo más conocido de un conjunto incontable es el conjunto R de todos los números reales ; El argumento diagonal de Cantor muestra que este conjunto es incontable. La técnica de prueba de diagonalización también se puede usar para mostrar que varios otros conjuntos son incontables, como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales y el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de números naturales. La cardinalidad de R a menudo se denomina cardinalidad del continuo y se denota por , o , o ( beth-one ).
El conjunto de Cantor es un subconjunto incontable de R . El conjunto de Cantor es un fractal y tiene dimensión de Hausdorff mayor que cero pero menor que uno ( R tiene dimensión uno). Este es un ejemplo del siguiente hecho: cualquier subconjunto de R de dimensión de Hausdorff estrictamente mayor que cero debe ser incontable.
Otro ejemplo de un conjunto incontable es el conjunto de todas las funciones de R a R. Este conjunto es incluso "más incontable" que R en el sentido de que la cardinalidad de este conjunto es ( beth-dos ), que es mayor que .
