La convergencia en medida es cualquiera de dos conceptos matemáticos distintos, los cuales generalizan el concepto de convergencia en probabilidad .
Definiciones
Dejar Ser funciones medibles en un espacio de medida. . La secuenciase dice que converge globalmente en la medida de si por cada ,
- ,
y converger localmente en la medida de si por cada y cada con ,
- .
La convergencia en la medida puede referirse a la convergencia global en la medida o la convergencia local en la medida, según el autor.
Propiedades
A lo largo, f y f n ( n N ) son medibles funciones X → R .
- La convergencia global en medida implica la convergencia local en medida. Sin embargo, lo contrario es falso; es decir , la convergencia local en medida es estrictamente más débil que la convergencia global en medida, en general.
- Si acaso, o, de manera más general, si f y todos los f n desaparecen fuera de algún conjunto de medida finita, entonces la distinción entre convergencia de medida local y global desaparece.
- Si μ es σ -finito y ( f n ) converge (local o globalmente) af en la medida, hay una subsecuencia que converge af casi en todas partes . La suposición de σ -finitud no es necesaria en el caso de la convergencia global en la medida.
- Si μ es σ -finito, ( f n ) converge af localmente en la medida si y solo si cada subsecuencia tiene a su vez una subsecuencia que converge af casi en todas partes.
- En particular, si ( f n ) converge af casi en todas partes, entonces ( f n ) converge af localmente en la medida. Lo contrario es falso.
- El lema de Fatou y el teorema de la convergencia monótona se mantienen si casi en todas partes la convergencia se reemplaza por la convergencia (local o global) en la medida. [ aclaración necesaria ]
- Si μ es σ- finito, el teorema de convergencia dominado de Lebesgue también se cumple si casi en todas partes la convergencia se reemplaza por la convergencia (local o global) en la medida. [ aclaración necesaria ]
- Si X = [ a , b ] ⊆ R y μ es la medida de Lebesgue , hay secuencias ( g n ) de funciones escalonadas y ( h n ) de funciones continuas que convergen globalmente en la medida af . [ aclaración necesaria ]
- Si f y f n ( n ∈ N ) están en L p ( μ ) para algún p > 0 y ( f n ) converge af en la p -norm, entonces ( f n ) converge af globalmente en medida. Lo contrario es falso.
- Si f n converge af en medida y g n converge ag en medida, entonces f n + g n converge af + g en medida. Además, si el espacio de medida es finito, f n g n también converge a fg .
Contraejemplos
Dejar , μ es la medida de Lebesgue, yf la función constante con valor cero.
- La secuencia converge af localmente en medida, pero no converge af globalmente en medida.
- La secuencia dónde y (Los primeros cinco términos son ) converge a 0 globalmente en medida; pero para no x , f n (x) converge a cero. Por tanto, (f n ) no logra converger af en casi todas partes.
- La secuencia converge af casi en todas partes y globalmente en medida, pero no en la p -norm para cualquier.
Topología
Existe una topología , llamada topología de convergencia (local) en medida , sobre la colección de funciones medibles de X, de modo que la convergencia local en medida corresponde a la convergencia en esa topología. Esta topología está definida por la familia de pseudometría
dónde
- .
En general, uno puede restringirse a alguna subfamilia de conjuntos F (en lugar de todos los posibles subconjuntos de medida finita). Basta que para cada de medida finita y existe F en la familia tal que Cuándo , podemos considerar solo una métrica , por lo que la topología de convergencia en medida finita es metrizable. Si es una medida arbitraria finita o no, entonces
aún define una métrica que genera la convergencia global en medida. [1]
Debido a que esta topología es generada por una familia de pseudometría, es uniformizable . Trabajar con estructuras uniformes en lugar de topologías nos permite formular propiedades uniformes como Cauchyness .
Ver también
Referencias
- ^ Vladimir I. Bogachev, Teoría de la medida Vol. Yo, Springer Science & Business Media, 2007
- DH Fremlin, 2000. Teoría de la medida . Torres Fremlin.
- HL Royden, 1988. Real Analysis . Prentice Hall.
- GB Folland 1999, Sección 2.4. Análisis real . John Wiley e hijos.