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En geometría , un poliedro cuasirregular es un poliedro uniforme que tiene exactamente dos tipos de caras regulares , que se alternan alrededor de cada vértice . Son vértice-transitivo y borde-transitivo , por lo tanto un paso más cerca de poliedros regulares que el semirregular , que son meramente vértice-transitivo.
Sus figuras duales son transitivas en el rostro y en los bordes; tienen exactamente dos tipos de figuras de vértices regulares , que se alternan alrededor de cada cara . A veces también se consideran cuasirregulares.
Solo hay dos poliedros cuasirregulares convexos: el cuboctaedro y el icosidodecaedro . Sus nombres, dados por Kepler , provienen de reconocer que sus caras son todas las caras (giradas de manera diferente) del doble par cubo y octaedro , en el primer caso, y del doble par icosaedro y dodecaedro , en el segundo caso.
A estas formas que representan un par de una figura regular y su dual se les puede dar un símbolo vertical de Schläfli o r {p, q} , para representar que sus caras son todas las caras (giradas de manera diferente) tanto de la regular {p, q} como de la regular dual {q, p} . Un poliedro cuasirregular con este símbolo tendrá una configuración de vértice p.qpq (o (pq) 2 ).
De manera más general, una figura cuasirregular puede tener una configuración de vértice (pq) r , que representa r (2 o más) secuencias de las caras alrededor del vértice.
Los mosaicos del plano también pueden ser cuasirregulares, específicamente el mosaico trihexagonal , con configuración de vértice (3.6) 2 . Existen otros mosaicos cuasirregulares en el plano hiperbólico, como el mosaico triheptagonal , (3.7) 2 . O más generalmente: (pq) 2 , con 1 / p + 1 / q <1/2 .
Los poliedros regulares y los mosaicos con un número par de caras en cada vértice también se pueden considerar cuasirregulares al diferenciar entre caras del mismo orden, al representarlas de manera diferente, como colorearlas alternativamente (sin definir ninguna orientación de superficie). Una figura regular con el símbolo de Schläfli {p, q} puede considerarse cuasirregular, con configuración de vértice (pp) q / 2 , si q es par.
Ejemplos:
El octaedro regular , con el símbolo de Schläfli {3,4} y 4 siendo par, puede considerarse cuasirregular como un tetraedro (2 conjuntos de 4 triángulos del tetraedro ), con configuración de vértice (3.3) 4/2 = (3 a .3 b ) 2 , alternando dos colores de caras triangulares.
El mosaico cuadrado , con configuración de vértice 4 4 y 4 uniforme, puede considerarse cuasirregular, con configuración de vértice (4.4) 4/2 = (4 a .4 b ) 2 , coloreado como un tablero de ajedrez .
El mosaico triangular , con configuración de vértice 3 6 y 6 uniforme, puede considerarse cuasirregular, con configuración de vértice (3.3) 6/2 = (3 a .3 b ) 3 , alternando dos colores de caras triangulares.
Construcción Wythoff
Los poliedros regulares ( p | 2 q ) y cuasirregulares ( 2 | pq ) se crean a partir de una construcción de Wythoff con el punto generador en una de las 3 esquinas del dominio fundamental. Esto define un solo borde dentro del dominio fundamental. |
Coxeter define un poliedro cuasirregular como uno que tiene un símbolo de Wythoff en la forma p | qr , y es regular si q = 2 o q = r. [1]
El diagrama de Coxeter-Dynkin es otra representación simbólica que muestra la relación cuasirregular entre las dos formas regulares duales:
Símbolo de Schläfli | Diagrama de Coxeter | Símbolo de Wythoff | |
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{p, q} | q | 2 p | ||
{q, p} | p | 2 q | ||
r {p, q} | o | 2 | pq |
Los poliedros cuasirregulares convexos
Hay dos poliedros cuasirregulares convexos uniformes :
- El cuboctaedro , configuración de vértice (3.4) 2 , diagrama de Coxeter-Dynkin
- El icosidodecaedro , configuración de vértice (3.5) 2 , diagrama de Coxeter-Dynkin
Además, el octaedro , que también es regular ,, configuración de vértice (3.3) 2 , puede considerarse cuasirregular si a las caras alternativas se les dan colores diferentes. En esta forma, a veces se le conoce como tetraedro . Los poliedros regulares convexos restantes tienen un número impar de caras en cada vértice, por lo que no se pueden colorear de manera que se preserve la transitividad del borde. Tiene diagrama de Coxeter-Dynkin
Cada uno de estos forma el núcleo común de un par dual de poliedros regulares . Los nombres de dos de estos dan pistas sobre el par dual asociado: respectivamente cubo octaedro e icosaedro dodecaedro . El octaedro es el núcleo común de un par dual de tetraedros (un compuesto conocido como stella octangula ); cuando se deriva de esta manera, el octaedro a veces se llama tetratetraedro , como tetraedro tetraedro .
Regular | Doble regular | Núcleo común cuasirregular | Figura de vértice |
---|---|---|---|
Tetraedro {3,3} 3 | 2 3 | Tetraedro {3,3} 3 | 2 3 | Tetratetraedro r {3,3} 2 | 3 3 | 3.3.3.3 |
Cubo {4,3} 3 | 2 4 | Octaedro {3,4} 4 | 2 3 | Cuboctaedro r {3,4} 2 | 3 4 | 3.4.3.4 |
Dodecaedro {5,3} 3 | 2 5 | Icosaedro {3,5} 5 | 2 3 | Icosidodecaedro r {3,5} 2 | 3 5 | 3.5.3.5 |
Cada uno de estos poliedros cuasirregulares se puede construir mediante una operación de rectificación en cualquier padre regular, truncando los vértices completamente, hasta que cada borde original se reduzca a su punto medio.
Azulejos cuasirregulares
Esta secuencia continúa como el mosaico trihexagonal , figura del vértice (3.6) 2 - un mosaico cuasirregular basado en el mosaico triangular y el mosaico hexagonal .
Regular | Doble regular | Combinación cuasirregular | Figura de vértice |
---|---|---|---|
Mosaico hexagonal {6,3} 6 | 2 3 | Mosaico triangular {3,6} 3 | 2 6 | Azulejos trihexagonales r {6,3} 2 | 3 6 | (3,6) 2 |
El patrón de tablero de ajedrez es una coloración cuasirregular del mosaico cuadrado , figura de vértice (4.4) 2 :
Regular | Doble regular | Combinación cuasirregular | Figura de vértice |
---|---|---|---|
{4,4} 4 | 2 4 | {4,4} 4 | 2 4 | r {4,4} 2 | 4 4 | (4,4) 2 |
El mosaico triangular también se puede considerar cuasirregular, con tres conjuntos de triángulos alternos en cada vértice, (3.3) 3 :
h {6,3} 3 | 3 3 = |
En el plano hiperbólico, esta secuencia continúa, por ejemplo, el mosaico triheptagonal , figura del vértice (3.7) 2 : un mosaico cuasirregular basado en el mosaico triangular de orden 7 y el mosaico heptagonal .
Regular | Doble regular | Combinación cuasirregular | Figura de vértice |
---|---|---|---|
Revestimiento heptagonal {7,3} 7 | 2 3 | Mosaico triangular {3,7} 3 | 2 7 | Azulejos triheptagonal r {3,7} 2 | 3 7 | (3,7) 2 |
Ejemplos no convexos
Coxeter, HSM y col. (1954) también clasifican ciertos poliedros estelares , que tienen las mismas características, como cuasirregulares.
Dos se basan en pares duales de sólidos regulares de Kepler-Poinsot , de la misma manera que en los ejemplos convexos:
el gran icosidodecaedro , y el dodecadodecaedro :
Regular | Doble regular | Núcleo común cuasirregular | Figura de vértice |
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Gran Dodecaedro { 5 / 2 , 3} 3 | 2 5/2 | Gran icosaedro {3, 5 / 2 } 5/2 | 2 3 | Gran icosidodecaedro r {3, 5 / 2 } 2 | 3 5/2 | 3. 5 / 2 0.3. 5 / 2 |
Pequeño Dodecaedro { 5 / 2 , 5} 5 | 2 5/2 | Gran dodecaedro {5, 5 / 2 } 5/2 | 2 5 | Dodecadodecahedron r {5, 5 / 2 } 2 | 5 5/2 | 5. 5 / 2 0.5. 5 / 2 |
Nueve más son los hemipoliedros , que son formas facetadas de los poliedros cuasirregulares antes mencionados derivadas de la rectificación de poliedros regulares. Estos incluyen caras ecuatoriales que pasan por el centro de los poliedros:
Cuasirregular (rectificado) | Tetraedro | Cuboctaedro | Icosidodecaedro | Gran icosidodecaedro | Dodecadodecaedro |
---|---|---|---|---|---|
Cuasirregular (hemipolyhedra) | Tetrahemihexahedron 3 / 2 3 | 2 | Octahemioctahedron 3 / 2 3 | 3 | Pequeño icosihemidodecahedron 3 / 2 3 | 5 | Gran icosihemidodecahedron 3 / 2 3 | 5 / 3 | Pequeño dodecahemicosahedron 5 / 3 5 / 2 | 3 |
Figura de vértice | 3.4. 3 / 2 0,4 | 3.6. 3 / 2 0,6 | 3.10. 3 / 2 0,10 | 3. 10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3 | 5 / 2 0.6. 5 / 3 0,6 |
Cuasirregular (hemipolyhedra) | Cubohemioctahedron 4 / 3 4 | 3 | Pequeño dodecahemidodecahedron 5 / 4 5 | 5 | Gran dodecahemidodecahedron 5 / 3 5 / 2 | 5 / 3 | Gran dodecahemicosahedron 5 / 4 5 | 3 | |
Figura de vértice | 4.6. 4 / 3 0,6 | 5.10. 5 / 4 0,10 | 5 / 2 . 10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3 | 5.6. 5 / 4 0.6 |
Por último, hay tres formas ditrigonales , todas facetas del dodecaedro regular, cuyas figuras de vértice contienen tres alternancias de los dos tipos de caras:
Imagen | Forma facetada Símbolo de Wythoff Diagrama de Coxeter | Figura de vértice |
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Dodecadodecaedro ditrigonal 3 | 5/3 5 o | (5,5 / 3) 3 | |
Iicosidodecaedro ditrigonal pequeño 3 | 5/2 3 o | (3,5 / 2) 3 | |
Gran icosidodecaedro ditrigonal 3/2 | 3 5 o | ((3,5) 3 ) / 2 |
En el plano euclidiano, la secuencia de hemipolyhedra continúa con las siguientes cuatro teselaciones de estrellas, donde aparecen apeirogons como los polígonos ecuatoriales antes mencionados:
Original rectificada alicatado | Diagrama de aristas | Sólido | Configuración de vértice | Wythoff | Grupo de simetría |
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Azulejos cuadrados | 4.∞.4 / 3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | p4m | ||
Azulejos triangulares | (3.∞.3.∞.3.∞) / 2 | 3/2 | 3 ∞ | p6m | ||
Trihexagonal alicatado | 6.∞.6 / 5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | |||
∞.3.∞.3 / 2 ∞.3.∞.-3 | 3/2 3 | ∞ |
Duales cuasirregulares
Algunas autoridades argumentan que, dado que los duales de los sólidos cuasirregulares comparten las mismas simetrías, estos duales también deberían llamarse cuasirregulares. Pero no todo el mundo usa esta terminología. Estos duales son transitivos en sus bordes y caras (pero no en sus vértices); son los sólidos catalanes de borde transitivo . Los convexos son, en el orden correspondiente como arriba:
- El dodecaedro rómbico , con dos tipos de vértices alternos, 8 con tres caras rómbicas y 6 con cuatro caras rómbicas.
- El triacontaedro rómbico , con dos tipos de vértices alternos, 20 con tres caras rómbicas y 12 con cinco caras rómbicas.
Además, por dualidad con el octaedro, el cubo , que suele ser regular , puede volverse cuasirregular si se dan diferentes colores a los vértices alternos.
Su configuración de caras es de la forma V3.n.3.n, y diagrama de Coxeter-Dynkin
Cubo V (3.3) 2 | Dodecaedro rómbico V (3.4) 2 | Triacontaedro rómbico V (3,5) 2 | Azulejos Rhombille V (3.6) 2 | V (3,7) 2 | V (3,8) 2 |
Estos tres duales cuasirregulares también se caracterizan por tener caras rómbicas .
Este patrón de caras rómbicas continúa como V (3.6) 2 , el mosaico de rombos .
Politopos y panales cuasirregulares
En dimensiones superiores, Coxeter definió un politopo o panal cuasirregular para tener facetas regulares y figuras de vértice cuasirregulares. De ello se deduce que todas las figuras de vértice son congruentes y que hay dos tipos de facetas, que se alternan. [2]
En el 4-espacio euclidiano, las 16 celdas regulares también se pueden ver como cuasirregulares como un tesseract alternativo , h {4,3,3}, diagramas de Coxeter : = , compuesto por células tetraédricas y tetraédricas alternas . Su figura de vértice es el tetraedro cuasirregular (un octaedro con simetría tetraédrica),.
El único panal cuasirregular en el espacio tridimensional euclidiano es el panal cúbico alterno , h {4,3,4}, diagramas de Coxeter: = , compuesto por celdas tetraédricas y octaédricas alternas . Su figura de vértice es el cuboctaedro cuasirregular ,. [2]
En el 3-espacio hiperbólico, un panal cuasirregular es el panal cúbico de orden alternado 5 , h {4,3,5}, diagramas de Coxeter: = , compuesto por células tetraédricas e icosaédricas alternas . Su figura de vértice es el icosidodecaedro cuasirregular ,. Un panal cúbico de orden alternado paracompacto -6 relacionado , h {4,3,6} tiene celdas de mosaico tetraédricas y hexagonales alternas con figura de vértice es un mosaico trihexagonal cuasirregular ,.
Policora cuasirregular y panales: h {4, p, q} | |||||||||||
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Espacio | Finito | Afín | Compacto | Paracompacto | |||||||
Símbolo de Schläfli | h {4,3,3} | h {4,3,4} | h {4,3,5} | h {4,3,6} | h {4,4,3} | h {4,4,4} | |||||
Diagrama de Coxeter | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | |||||
↔ | ↔ | ||||||||||
Imagen | |||||||||||
Figura de vértice r {p, 3} |
Polychora regular o panales de la forma {p, 3,4} o puede tener su simetría cortada a la mitad como en forma cuasirregular , creando celdas {p, 3} de colores alternativos. Estos casos incluyen el panal cúbico euclidiano {4,3,4} con celdas cúbicas y el hiperbólico compacto {5,3,4} con celdas dodecaédricas , y el paracompacto {6,3,4} con celdas de mosaico hexagonales infinitas . Tienen cuatro celdas alrededor de cada borde, alternadas en 2 colores. Sus figuras de vértice son tetratetraedros cuasirregulares, = .
Panales regulares y cuasirregulares: {p, 3,4} y {p, 3 1,1 } | |||||||||||
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Espacio | 4 espacios euclidianos | 3 espacios euclidianos | 3 espacios hiperbólicos | ||||||||
Nombre | {3,3,4} {3,3 1,1 } = | {4,3,4} {4,3 1,1 } = | {5,3,4} {5,3 1,1 } = | {6,3,4} {6,3 1,1 } = | |||||||
Diagrama de Coxeter | = | = | = | = | |||||||
Imagen | |||||||||||
Celdas {p, 3} |
Panales hiperbólicos igualmente regulares de la forma {p, 3,6} o puede tener su simetría cortada a la mitad como en forma cuasirregular , creando celdas {p, 3} de colores alternativos. Tienen seis celdas alrededor de cada borde, alternadas en 2 colores. Sus figuras de vértice son mosaicos triangulares cuasirregulares ,.
Form | Paracompact | Noncompact | |||||
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Name | {3,3,6} {3,3[3]} | {4,3,6} {4,3[3]} | {5,3,6} {5,3[3]} | {6,3,6} {6,3[3]} | {7,3,6} {7,3[3]} | {8,3,6} {8,3[3]} | ... {∞,3,6} {∞,3[3]} |
Image | |||||||
Cells | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} |
See also
- Chiral polytope
- Rectification (geometry)
Notes
- ^ Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S. and Miller, J.C.P. Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A (1954), pp. 401–450. (Section 7, The regular and quasiregular polyhedra p | q r)
- ^ a b Coxeter, Regular Polytopes, 4.7 Other honeycombs. p.69, p.88
References
- Cromwell, P. Polyhedra, Cambridge University Press (1977).
- Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, 2.3 Quasi-Regular Polyhedra. (p. 17), Quasi-regular honeycombs p.69
External links
- Weisstein, Eric W. "Quasiregular polyhedron". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Uniform polyhedron". MathWorld. Quasi-regular polyhedra: (p.q)r
- George Hart, Quasiregular polyhedra