Poliedro estrella
En geometría , un poliedro en estrella es un poliedro que tiene alguna cualidad repetitiva de no convexidad que le da una calidad visual similar a una estrella.
Hay dos tipos generales de poliedros en estrella:
- Poliedros que se entrecruzan de forma repetitiva.
- Poliedros cóncavos de un tipo particular que alternan vértices convexos y cóncavos o en silla de forma repetitiva. Matemáticamente, estas cifras son ejemplos de dominios estelares .
Los estudios matemáticos de poliedros estelares generalmente se refieren a poliedros regulares y uniformes , o los duales de los poliedros uniformes. Todas estas estrellas son del tipo que se entrecruzan por sí mismas.
Poliedros estelares autoincrutables
Poliedros estrella regular
Los poliedros en estrella regulares son poliedros que se intersecan por sí mismos. Pueden tener caras que se intersecan por sí mismas o figuras de vértices que se intersecan por sí mismas .
Hay cuatro poliedros de estrellas regulares , conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot . El símbolo de Schläfli { p , q } implica caras con p lados y figuras de vértice con q lados. Dos de ellos tienen caras pentagrammic {5/2} y dos tienen figuras de vértice pentagrammic.
Estas imágenes muestran cada forma con una sola cara de color amarillo para mostrar la parte visible de esa cara.
También hay un número infinito de dihedra y hosohedra de estrellas regulares {2, p / q } y { p / q , 2} para cualquier polígono de estrellas { p / q }. Aunque degenerados en el espacio euclidiano, pueden realizarse esféricamente en forma no degenerada.
Poliedros uniformes y uniformes de doble estrella
Hay muchos poliedros estelares uniformes que incluyen dos series infinitas, de prismas y antiprismas , y sus duales .
Los poliedros en estrella uniformes y uniformes dobles también son poliedros auto-intersectantes. Pueden tener caras que se intersecan por sí mismas, figuras de vértices que se intersecan a sí mismas o ambas.
Los poliedros en estrella uniformes tienen caras regulares o caras de polígono en estrella regulares . Los poliedros de estrellas uniformes duales tienen caras regulares o figuras de vértices de polígono de estrellas regulares .
| Poliedro uniforme | Poliedro doble |
|---|---|
 El prisma pentagrammico es un poliedro de estrella prismática . Está compuesto por dos caras de pentagrama conectadas por cinco caras cuadradas que se cruzan . |  La bipirámide pentagrammica es también un poliedro en estrella , que representa el prisma dual al pentagrammico. Es transitivo por caras , compuesto por diez triángulos isósceles que se cruzan . |
El gran dodecicosaedro es un poliedro en estrella, construido a partir de una figura de vértice único de caras intersectantes hexagonales y decagramémicas , {10/3} . | El gran dodecicosacrón es el dual del gran dodecicosaedro . Es un rostro transitivo , compuesto por 60 caras cuadriláteras en forma de pajarita que se cruzan . |
Estelaciones y facetas
Más allá de las formas anteriores, hay clases ilimitadas de poliedros (estrella) que se intersecan por sí mismos.
Dos clases importantes son las estelaciones de poliedros convexos y sus duales, las facetas de los poliedros duales.
Por ejemplo, la estelación completa del icosaedro (ilustrado) se puede interpretar como un poliedro auto-intersecante compuesto por 20 caras idénticas, cada una de las cuales es un polígono enrollado (9/4). A continuación se muestra una ilustración de este poliedro con una cara dibujada en amarillo.
Politopos estrella
Un politopo que se interseca a sí mismo de manera similar en cualquier número de dimensiones se llama politopo en estrella .
Un politopo regular { p , q , r , ..., s , t } es un politopo estrella si su faceta { p , q , ... s } o su figura de vértice { q , r , ..., s , t } es un politopo en estrella.
En cuatro dimensiones, las 10 policoras de estrellas regulares se denominan policoras de Schläfli-Hess . De manera análoga a los poliedros de estrellas regulares, estos 10 están compuestos por facetas que son uno de los cinco sólidos platónicos regulares o uno de los poliedros de cuatro estrellas regulares de Kepler-Poinsot .
Por ejemplo, la gran gran estrella de 120 celdas , proyectada ortogonalmente en 3 espacios, se ve así:
No hay politopos en estrella regulares en dimensiones superiores a 4.
Poliedros estelares de dominio estelar
Un poliedro que no se cruza, de modo que todo el interior pueda verse desde un punto interior, es un ejemplo de dominio estelar . Las porciones exteriores visibles de muchos poliedros estelares que se entrecruzan forman los límites de los dominios estelares, pero a pesar de su apariencia similar, como poliedros abstractos, se trata de estructuras diferentes. Por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado tiene 12 caras de pentagramas, pero el dominio estelar correspondiente tiene 60 caras de triángulos isósceles y números correspondientemente diferentes de vértices y aristas.
Los dominios estelares poliédricos aparecen en varios tipos de arquitectura, generalmente de naturaleza religiosa. Por ejemplo, se ven en muchas iglesias barrocas como símbolos del Papa que construyó la iglesia, en iglesias húngaras y en otros edificios religiosos. Estas estrellas también se pueden utilizar como decoración. Las estrellas de Moravia se utilizan para ambos propósitos y se pueden construir de varias formas.
Ver también
- Polígono estrella
- Stelación
- Compuesto poliédrico
- Lista de poliedros uniformes
- Lista de poliedros uniformes por triángulo de Schwarz
Notas
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Referencias
- Coxeter, HSM , MS Longuet-Higgins y JCP Miller, Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954) págs. 401–450.
- Coxeter, HSM, Politopos regulares , 3er. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (VI. Poliedros en estrella, XIV. Politopos en estrella) (pág. 263) [1]
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, Politopos en estrella regulares, págs. 404–408)
- Tarnai, T., Krähling, J. y Kabai, S .; "Poliedros estelares: de la Basílica de San Marcos en Venecia a las iglesias protestantes húngaras", Documento ID209, Proc. del IASS 2007, Shell y Estructuras Espaciales: Arquitectura Estructural-Hacia el Futuro Mirando al Pasado , Universidad de IUAV, 2007. [2] o [3]
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Star Polyhedron" . MathWorld .
- Poliedros
