Poliedro estrella uniforme
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Una exhibición de poliedros uniformes en el Museo de Ciencias de Londres
El pequeño icosicosidodecaedro chato es un poliedro en estrella uniforme , con vértice en la figura 3 5 . 5 / 2

En geometría , un poliedro en estrella uniforme es un poliedro uniforme que se interseca automáticamente . A veces también se les llama poliedros no convexos para implicar que se cruzan a sí mismos. Cada poliedro puede contener polígono estrellado caras, polígono estrella figura de vértice o ambos.

El conjunto completo de 57 poliedros estelares uniformes no prismáticos incluye los 4 regulares, llamados poliedros de Kepler-Poinsot , 5 cuasirregulares y 48 semirregulares.

También hay dos conjuntos infinitos de prismas estelares uniformes y antiprismas estelares uniformes .

Así como los polígonos en estrella (no degenerados) (que tienen una densidad de polígono mayor que 1) corresponden a polígonos circulares con mosaicos superpuestos, los poliedros en estrella que no pasan por el centro tienen una densidad de politopo mayor que 1 y corresponden a poliedros esféricos con mosaicos superpuestos; Hay 47 poliedros estelares uniformes no prismáticos. Los 10 poliedros estelares uniformes no prismáticos restantes, los que pasan por el centro, son los hemipoliedros y el monstruo de Miller , y no tienen densidades bien definidas.

Las formas no convexas se construyen a partir de triángulos de Schwarz .

Todos los poliedros uniformes se enumeran a continuación por sus grupos de simetría y subgrupos por sus arreglos de vértices.

Los poliedros regulares están etiquetados por su símbolo Schläfli . Otros poliedros uniformes no regulares se enumeran con su configuración de vértice .

Una figura adicional, el pseudo gran rombicuboctaedro , no suele incluirse como un politopo estelar verdaderamente uniforme, a pesar de que consta de caras regulares y tiene los mismos vértices.

Nota: Para las formas no convexas a continuación, se utiliza un descriptor adicional No uniforme cuando la disposición convexa del vértice del casco tiene la misma topología que una de estas, pero tiene caras no regulares. Por ejemplo, una forma cantelada no uniforme puede tener rectángulos creados en lugar de los bordes en lugar de cuadrados .

Simetría diedro

Ver poliedro uniforme prismático .

Simetría tetraédrica

(3 3 2) triángulos en esfera

Hay una forma no convexa, el tetrahemihexaedro que tiene simetría tetraédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (3 3 2)).

Hay dos triángulos de Schwarz que generan poliedros uniformes no convexos únicos: un triángulo rectángulo ( 3 ⁄ 2 3 2) y un triángulo general ( 3 ⁄ 2 3 3). El triángulo general ( 3 ⁄ 2 3 3) genera el octahemioctaedro que se da más adelante con su simetría octaédrica completa .

Disposición de vértice
( casco convexo )		Formas no convexas

Tetraedro		 

Octaedro tetraedro rectificado

4. 3 ⁄ 2 .4.3 3 ⁄ 2 3 | 2

Tetraedro truncado		 

Tetraedro cantelado
( Cuboctaedro )		 

Tetraedro omnitruncado
( octaedro truncado )		 

Tetraedro chato
( icosaedro )		 

Simetría octaédrica

(4 3 2) triángulos en esfera

Hay 8 formas convexas y 10 formas no convexas con simetría octaédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (4 3 2)).

Hay cuatro triángulos de Schwarz que generan formas no convexas, dos triángulos rectángulos ( 3 ⁄ 2 4 2) y ( 4 ⁄ 3 3 2), y dos triángulos generales: ( 4 ⁄ 3 4 3), ( 3 ⁄ 2 4 4) .

Disposición de vértice
( casco convexo )		Formas no convexas

Cubo		 

Octaedro		 

Cuboctaedro
6. 4 ⁄ 3 .6.4 4 ⁄ 3 4 | 3

6. 3 ⁄ 2 .6.3 3 ⁄ 2 3 | 3

Cubo truncado
4. 8 ⁄ 3 . 4 ⁄ 3 . 8 ⁄ 5
2 4 ⁄ 3 ( 3 ⁄ 2 4 ⁄ 2 ) |
8 ⁄ 3 .3. 8 ⁄ 3 .4
3 4 | 4 ⁄ 3
4. 3 ⁄ 2 .4.4 3 ⁄ 2 4 | 2

Octaedro truncado		 

Rombicuboctaedro
4.8. 4 ⁄ 3 .8
2 4 ( 3 ⁄ 2 4 ⁄ 2 ) |
8. 3 ⁄ 2 .8.4 3 ⁄ 2 4 | 4

8 ⁄ 3 . 8 ⁄ 3 .3
2 3 | 4 ⁄ 3

Cuboctaedro
truncado no uniforme
4.6. 8 ⁄ 3
2 3 4 ⁄ 3 |

Cuboctaedro
truncado no uniforme
8 ⁄ 3 .6.8
3 4 4 ⁄ 3 |

Cubo chato		 

Simetría icosaédrica

(5 3 2) triángulos en esfera

Hay 8 formas convexas y 46 formas no convexas con simetría icosaédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (5 3 2)). (o 47 formas no convexas si se incluye la figura de Skilling). Algunas de las formas de desaire no convexas tienen simetría de vértice reflectante.

Disposición de vértice
( casco convexo )		Formas no convexas

Icosaedro
{5, 5 ⁄ 2 }
{ 5 ⁄ 2 , 5}
{3, 5 ⁄ 2 }

Iicosaedro
truncado no uniforme
10.10. 5 ⁄ 2
2 5 ⁄ 2 | 5
3. 10 ⁄ 3 . 5 ⁄ 2 . 10 ⁄ 7 5 ⁄ 2 3 | 5 ⁄ 3

3.4. 5 ⁄ 3 .4 5 ⁄ 3 3 | 2

4. 10 ⁄ 3 . 4 ⁄ 3 . 10 ⁄ 7
2 5 ⁄ 3 ( 3 ⁄ 2 5 ⁄ 4 ) |

Iicosaedro
truncado no uniforme
4. 5 ⁄ 2 .4.5 5 ⁄ 2 5 | 2

5.6. 5 ⁄ 3 .6 5 ⁄ 3 5 | 3

4.6. 4 ⁄ 3 . 6 ⁄ 5
2 3 ( 5 ⁄ 4 5 ⁄ 2 ) |

Iicosaedro
truncado no uniforme
3 5 . 5 ⁄ 2
| 5 ⁄ 2 3 3

Icosidodecaedro
3.10. 3 ⁄ 2 .10 3 ⁄ 2 3 | 5

5.10. 5 ⁄ 4 .10 5 ⁄ 4 5 | 5

3. 5 ⁄ 2 .3. 5 ⁄ 2
2 | 3 5 ⁄ 2
5 ⁄ 2 . 10 ⁄ 3 . 5 ⁄ 3 . 10 ⁄ 3 5 ⁄ 3 5 ⁄ 2 | 5 ⁄ 3

3. 10 ⁄ 3 . 3 ⁄ 2 . 10 ⁄ 3
3 3 | 5 ⁄ 3
5. 5 ⁄ 2 .5. 5 ⁄ 2
2 | 5 5 ⁄ 2
6. 5 ⁄ 2 .6. 5 ⁄ 3 5 ⁄ 3 5 ⁄ 2 | 3

5.6. 5 ⁄ 4 .6 5 ⁄ 4 5 | 3

No uniforme

dodecaedro truncado


3. 10 ⁄ 3 .5. 10 ⁄ 3
3 5 | 5 ⁄ 3
5.6. 3 ⁄ 2 .6 3 ⁄ 2 5 | 3

6. 10 ⁄ 3 . 6 ⁄ 5 . 10 ⁄ 7
3 5 ⁄ 3 ( 3 ⁄ 2 5 ⁄ 2 ) |

Dodecaedro
truncado no uniforme
(3 5 . 5 / 3 ) / 2
| 3 ⁄ 2 3 ⁄ 2 5 ⁄ 2

Dodecaedro
{ 5 ⁄ 2 , 3}
(3. 5 ⁄ 2 ) 3
3 | 5 ⁄ 2 3
(5. 5 ⁄ 3 ) 3
3 | 5 ⁄ 3 5
(3,5 3 ) / 2

3 ⁄ 2 | 3 5


Rombicosidodecaedro
5.10. 3 ⁄ 2 .10 3 ⁄ 2 5 | 5

4.10. 4 ⁄ 3 . 10 ⁄ 9
2 5 ( 3 ⁄ 2 5 ⁄ 2 ) |
5. 10 ⁄ 3 . 10 ⁄ 3
2 5 | 5 ⁄ 3

Rombicosidodecaedro no
uniforme
6.6. 5 ⁄ 2
2 5 ⁄ 2 | 3

Rombicosidodecaedro no
uniforme
6. 5 ⁄ 2 .6.3 5 ⁄ 2 3 | 3

3.10. 5 ⁄ 3 .10 5 ⁄ 3 3 | 5

6.10. 6 ⁄ 5 . 10 ⁄ 9
3 5 ( 3 ⁄ 2 5 ⁄ 4 ) |
3. 10 ⁄ 3 . 10 ⁄ 3
2 3 | 5 ⁄ 3

Rombicosidodecaedro no
uniforme
4. 5 ⁄ 3 .4.3.4. 5 ⁄ 2 .4. 3 ⁄ 2
| 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 3 5 ⁄ 2
3.3.3. 5 ⁄ 2 .3. 5 ⁄ 3
| 5 ⁄ 3 5 ⁄ 2 3
La figura de Skilling
(ver más abajo)

Icosidodecaedro
truncado no uniforme
6.10. 10 ⁄ 3
3 5 5 ⁄ 3 |

Icosidodecaedro
truncado no uniforme
4. 10 ⁄ 9 . 10 ⁄ 3
2 5 5 ⁄ 3 |

Icosidodecaedro
truncado no uniforme
4.6. 10 ⁄ 3
2 3 5 ⁄ 3 |

Dodecaedro
chato no uniforme
3.3. 5 ⁄ 2 .3,5
| 2 5 ⁄ 2 5
3.3.3.5.3. 5 ⁄ 3
| 5 ⁄ 3 3 5
3 4 . 5 ⁄ 2
| 2 5 ⁄ 2 3
3 4 . 5 ⁄ 3
| 5 ⁄ 3 2 3
3.3.5.3. 5 ⁄ 3
| 5 ⁄ 3 2 5
(3 4 . 5 / 2 ) / 2
| 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 2


Casos degenerados

Coxeter identificó una serie de poliedros estelares degenerados mediante el método de construcción de Wythoff, que contienen bordes o vértices superpuestos. Estas formas degeneradas incluyen:

  • Icosidodecaedro complejo pequeño
  • Gran icosidodecaedro complejo
  • Pequeño rombicosidodecaedro complejo
  • Gran rombicosidodecaedro complejo
  • Rombidodecadodecaedro complejo

La figura de Skilling

Otro poliedro degenerado no convexo es el gran dirhombidodecaedro disnub , también conocido como figura de Skilling , que es de vértice uniforme, pero tiene pares de aristas que coinciden en el espacio de modo que cuatro caras se encuentran en algunas aristas. Se cuenta como un poliedro uniforme degenerado en lugar de un poliedro uniforme debido a sus bordes dobles. Tiene I h simetría.

Ver también

  • Polígono estrella
  • Lista de poliedros uniformes
  • Lista de poliedros uniformes por triángulo de Schwarz

Referencias

  • Coxeter, HSM (13 de mayo de 1954). "Poliedros uniformes". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas . 246 (916): 401–450. doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 .
  • Wenninger, Magnus (1974). Modelos de poliedro . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09859-9. OCLC  1738087 .
  • Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte. . Leipzig, Alemania: Teubner, 1900. [1]
  • Sopov, SP (1970), "Una prueba de la completitud de la lista de poliedros homogéneos elementales", Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139-156, MR  0326550
  • Skilling, J. (1975), "El conjunto completo de poliedros uniformes", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias físicas y matemáticas , 278 : 111-135, doi : 10.1098 / rsta.1975.0022 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  74475 , MR  0365333
  • Har'El, Z. Solución uniforme para poliedros uniformes. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har'El , software Kaleido , imágenes , imágenes duales
  • Mäder, RE Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [2]
  • Messer, Peter W. Expresiones de forma cerrada para poliedros uniformes y sus dobles. , Discrete & Computational Geometry 27: 353-375 (2002).
  • Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes 3D" .

enlaces externos

  • Weisstein, Eric W. "Poliedro uniforme" . MathWorld .
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