En geometría , un poliedro uniforme prismático es un poliedro uniforme con simetría diedro . Existen en dos familias infinitas, los prismas uniformes y los antiprismas uniformes . Todos tienen sus vértices en planos paralelos y, por tanto, son prismatoides .
Configuración de vértices y grupos de simetría
Debido a que son isogonales (vértices transitivos), su disposición de vértices corresponde de forma única a un grupo de simetría .
La diferencia entre los grupos de simetría prismático y antipismático es que D p h tiene los vértices alineados en ambos planos, lo que le da un plano de reflexión perpendicular a su eje p -pold (paralelo al polígono {p / q}); mientras que D p d tiene los vértices torcidos con respecto al otro plano, lo que le da una reflexión rotatoria. Cada uno tiene p planos de reflexión que contienen el eje del pliegue p .
El grupo de simetría D p h contiene inversión si y solo si p es par, mientras que D p d contiene simetría de inversión si y solo si p es impar.
Enumeración
Existen:
- prismas , para cada número racional p / q > 2, con grupo de simetría D p h ;
- antiprismas , para cada número racional p / q > 3/2, con grupo de simetría D p d si q es impar, D p h si q es par.
Si p / q es un número entero, es decir, si q = 1, el prisma o antiprisma es convexo. (Siempre se supone que la fracción se expresa en términos mínimos).
Un antiprisma con p / q <2 es cruzado o retrógrado ; su figura de vértice se asemeja a una pajarita. Si p / q ≤ 3/2 no puede existir un antiprisma uniforme, ya que su figura de vértice tendría que violar la desigualdad del triángulo .
Imagenes
Nota: El tetraedro , cubo y octaedro se enumeran aquí con simetría diedro (como antiprisma digonal , prisma cuadrado y antiprisma triangular respectivamente), aunque si tiene un color uniforme, el tetraedro también tiene simetría tetraédrica y el cubo y el octaedro también tienen simetría octaédrica.
Grupo de simetría | Convexo | Formas de estrella | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
D 2d [2 + , 2] (2 * 2) | 3.3.3 | |||||||
D 3 h [2,3] (* 223) | 3.4.4 | |||||||
D 3d [2 + , 3] (2 * 3) | 3.3.3.3 | |||||||
D 4 h [2,4] (* 224) | 4.4.4 | |||||||
D 4d [2 + , 4] (2 * 4) | 3.3.3.4 | |||||||
D 5 h [2,5] (* 225) | 4.4.5 | 4.4. 5 ⁄ 2 | 3.3.3. 5 ⁄ 2 | |||||
D 5d [2 + , 5] (2 * 5) | 3.3.3.5 | 3.3.3. 5 ⁄ 3 | ||||||
D 6 h [2,6] (* 226) | 4.4.6 | |||||||
D 6d [2 + , 6] (2 * 6) | 3.3.3.6 | |||||||
D 7 h [2,7] (* 227) | 4.4.7 | 4.4. 7 ⁄ 2 | 4.4. 7 ⁄ 3 | 3.3.3. 7 ⁄ 2 | 3.3.3. 7 ⁄ 4 | |||
D 7d [2 + , 7] (2 * 7) | 3.3.3.7 | 3.3.3. 7 ⁄ 3 | ||||||
D 8 h [2,8] (* 228) | 4.4.8 | 4.4. 8 ⁄ 3 | ||||||
D 8d [2 + , 8] (2 * 8) | 3.3.3.8 | 3.3.3. 8 ⁄ 3 | 3.3.3. 8 ⁄ 5 | |||||
D 9 h [2,9] (* 229) | 4.4.9 | 4.4. 9 ⁄ 2 | 4.4. 9 ⁄ 4 | 3.3.3. 9 ⁄ 2 | 3.3.3. 9 ⁄ 4 | |||
D 9d [2 + , 9] (2 * 9) | 3.3.3.9 | 3.3.3. 9 ⁄ 5 | ||||||
D 10 h [2,10] (* 2.2.10) | 4.4.10 | 4.4. 10 ⁄ 3 | ||||||
D 10d [2 + , 10] (2 * 10) | 3.3.3.10 | 3.3.3. 10 ⁄ 3 | ||||||
D 11 h [2,11] (* 2.2.11) | 4.4.11 | 4.4. 11 ⁄ 2 | 4.4. 11 ⁄ 3 | 4.4. 11 ⁄ 4 | 4.4. 11 ⁄ 5 | 3.3.3. 11 ⁄ 2 | 3.3.3. 11 ⁄ 4 | 3.3.3. 11 ⁄ 6 |
D 11d [2 + , 11] (2 * 11) | 3.3.3.11 | 3.3.3. 11 ⁄ 3 | 3.3.3. 11 ⁄ 5 | 3.3.3. 11 ⁄ 7 | ||||
D 12 h [2,12] (* 2.2.12) | 4.4.12 | 4.4. 12 ⁄ 5 | ||||||
D 12d [2 + , 12] (2 * 12) | 3.3.3.12 | 3.3.3. 12 ⁄ 5 | 3.3.3. 12 ⁄ 7 | |||||
... |
Ver también
- Poliedro uniforme
- Prisma (geometría)
- Antiprisma
Referencias
- Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954). "Poliedros uniformes". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas . La Royal Society. 246 (916): 401–450. doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . Señor 0062446 . S2CID 202575183 .
- Cromwell, P .; Poliedros , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 . p.175
- Skilling, John (1976), "Compuestos uniformes de poliedros uniformes", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 79 (3): 447–457, doi : 10.1017 / S0305004100052440 , MR 0397554.
enlaces externos
- Prismas y antiprismas George W. Hart