En matemáticas , un dominio de factorización único ( UFD ) (también llamado a veces anillo factorial siguiendo la terminología de Bourbaki ) es un anillo en el que se cumple una afirmación análoga al teorema fundamental de la aritmética . Específicamente, un UFD es un dominio integral (un anillo conmutativo no trivial en el que el producto de dos elementos distintos de cero es distinto de cero) en el que cada elemento no unitario distinto de cero se puede escribir como un producto de elementos primos (o elementos irreducibles ), únicamente hasta orden y unidades.
Ejemplos importantes de UFD son los números enteros y los anillos de polinomios en una o más variables con coeficientes provenientes de los números enteros o de un campo .
Formalmente, un dominio de factorización única se define como un dominio integral R en el que cada elemento distinto de cero x de R puede escribirse como un producto (un producto vacío si x es una unidad) de elementos irreducibles pi de R y una unidad tu :
y esta representación es única en el siguiente sentido: Si q 1 , ..., q m son elementos irreducibles de R y w es una unidad tal que
entonces m = n , y existe una función biyectiva φ : {1, ..., n } → {1, ..., m } tal que p i está asociado a q φ ( i ) para i ∈ {1, ..., n }.
La parte de unicidad suele ser difícil de verificar, por lo que es útil la siguiente definición equivalente: