En geometría algebraica , se rige una variedad sobre un campo k si es biracional al producto de la línea proyectiva con alguna variedad sobre k . Una variedad es uniruled si está cubierta por una familia de curvas racionales . (Más precisamente, una variedad X es uniruled si hay una variedad Y y un mapa racional dominante Y × P 1 - → X que no factoriza a través de la proyección a Y ). El concepto surgió de las superficies regladas de la geometría del siglo XIX, es decir, superficies en un espacio afín o en un espacio proyectivo que están cubiertas por líneas. Las variedades uniruled pueden considerarse relativamente simples entre todas las variedades, aunque hay muchas de ellas.
Propiedades
Cada variedad uniruled sobre un campo de característica cero tiene una dimensión de Kodaira −∞. Lo contrario es una conjetura que se conoce en dimensión como máximo 3: una variedad de dimensión de Kodaira −∞ sobre un campo de característica cero debe ser uniruled. Se conoce un enunciado relacionado en todas las dimensiones: Boucksom, Demailly , Păun y Peternell demostraron que una variedad proyectiva suave X sobre un campo de característica cero no tiene reglas si y solo si el paquete canónico de X no es pseudoeficaz (es decir, no en el cono convexo cerrado atravesado por divisores efectivos en el grupo Néron-Severi tenso con los números reales). [1] Como un caso muy especial, una hipersuperficie lisa de grado d en P n sobre un campo de característica cero es uniruled si y solo si d ≤ n , por la fórmula adjunta . (De hecho, una hipersuperficie lisa de grado d ≤ n en P n es una variedad Fano y, por lo tanto, está conectada racionalmente , lo que es más fuerte que no tener uniruled).
Una variedad X sobre un incontable algebraicamente cerrado k se uniruled si y sólo si hay una curva racional que pasa a través de cada k -punto de X . Por el contrario, hay variedades sobre el cierre algebraico k de un campo finito que no son uniruled pero tienen una curva racional a través de cada k- point. (La variedad Kummer de cualquier superficie abeliana no supersingular sobre F p con p impar tiene estas propiedades. [2] ) No se sabe si existen variedades con estas propiedades sobre el cierre algebraico de los números racionales .
La uniruledness es una propiedad geométrica (no cambia en las extensiones de campo), mientras que la regla no lo es. Por ejemplo, la cónica x 2 + y 2 + z 2 = 0 en P 2 sobre los números reales R es uniruled pero no regido. (La curva asociada sobre los números complejos C es isomorfa a P 1 y por lo tanto está regida.) En la dirección positiva, se rige cada variedad uniruled de dimensión como máximo 2 sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Los 3 pliegues cúbicos lisos y los 3 pliegues cúbicos lisos en P 4 sobre C son uniruidos pero no regidos.
Característica positiva
La uniruledness se comporta de manera muy diferente en característica positiva. En particular, hay superficies uniruidas (e incluso uniracionales ) de tipo general : un ejemplo es la superficie x p +1 + y p +1 + z p +1 + w p +1 = 0 en P 3 sobre F p , para cualquier número primo p ≥ 5. [3] Así que la uniruledness no implica que la dimensión de Kodaira sea − is en característica positiva.
Una variedad X se uniruled separable si hay una variedad Y con un dominante separable mapa racional Y × P 1 - → X que no factor de a través de la proyección a Y . ("Separable" significa que la derivada es sobreyectiva en algún punto; esto sería automático para un mapa racional dominante en la característica cero.) Una variedad separablemente uniruida tiene dimensión Kodaira −∞. Lo contrario es cierto en la dimensión 2, pero no en las dimensiones superiores. Por ejemplo, hay un triple proyectivo suave sobre F 2 que tiene una dimensión de Kodaira −∞ pero no es uniruled separablemente. [4] No se sabe si todas las variedades de Fano lisas con características positivas están separadas de forma separada.
Notas
- ^ Boucksom, Demailly, Păun y Peternell. J. Alg. Geom. 22 (2013), 201-248. Corolario 0.3.
- ^ F. Bogomolov y Y. Tschinkel, Amer. J. Math. 127 (2005), 825-835. Teorema 1.1.
- ^ T. Shioda, Matemáticas. Ana. 211 (1974), 233-236. Proposición 1.
- ^ E. Sato, Tohoku Math. J. 45 (1993), 447 - 460. Teorema.
Referencias
- Bogomolov, Fedor ; Tschinkel, Yuri (2005), "Curvas y puntos racionales en superficies K3", American Journal of Mathematics , 127 (4): 825–835, arXiv : math / 0310254 , doi : 10.1353 / ajm.2005.0025 , MR 2154371
- Boucksom, Sébastien; Demailly, Jean-Pierre ; Păun, Mihai; Peternell, Thomas (2013), "El cono pseudoeficaz de una variedad Kähler compacta y variedades de dimensión Kodaira negativa", Journal of Algebraic Geometry , 22 (2): 201–248, arXiv : math / 0405285 , doi : 10.1090 / S1056-3911-2012-00574-8 , MR 3019449
- Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180
- Sato, Ei-ichi (1993), "Un criterio de uniruledness en característica positiva", Tohoku Mathematical Journal , 45 (4): 447–460, doi : 10.2748 / tmj / 1178225839 , MR 1245712
- Shioda, Tetsuji (1974), "Un ejemplo de superficies uniracionales en la característica p ", Mathematische Annalen , 211 : 233-236, doi : 10.1007 / BF01350715 , MR 0374149