En geometría , un unital es un conjunto de n 3 + 1 puntos dispuestos en subconjuntos de tamaño n + 1 de modo que cada par de puntos distintos del conjunto estén contenidos exactamente en un subconjunto. Algunos autores requieren n ≥ 3 para evitar pequeños casos excepcionales. [a] Esto equivale a decir que un unital es un diseño de bloques de 2- ( n 3 + 1, n + 1, 1) . Algunos unitales pueden estar incrustados en un plano proyectivo de orden n 2 (los subconjuntos del diseño se convierten en conjuntos de colinealespuntos en el plano proyectivo). En este caso de unitales incrustados , cada línea del plano se cruza con el unital en 1 o n + 1 puntos. En los planos desarguesianos , PG (2, q 2 ), los ejemplos clásicos de unitales están dados por curvas hermitianas no degeneradas. También hay muchos ejemplos no clásicos. El primer y único unital conocido con parámetros de potencia no primos, n = 6 , fue construido por Bhaskar Bagchi y Sunanda Bagchi. [1] Aún se desconoce si este unital se puede incrustar en un plano proyectivo de orden 36 , si tal plano existe.
Unitales clásicos
Repasamos alguna terminología utilizada en geometría proyectiva .
Una correlación de una geometría proyectiva es una biyección en sus subespacios que invierte la contención. En particular, una correlación intercambia puntos e hiperplanos . [2]
Una correlación de orden dos se llama polaridad .
Una polaridad se llama polaridad unitaria si su forma sesquilínea asociada s con el automorfismo compañero α satisface:
- s ( u , v ) = s ( v , u ) α para todos los vectores u , v del espacio vectorial subyacente .
Un punto se llama punto absoluto de una polaridad si se encuentra en la imagen de sí mismo bajo la polaridad.
Los puntos absolutos de una polaridad unitaria de la geometría proyectiva PG ( d , F ), para algunos d ≥ 2, es una variedad hermitiana no degenerada , y si d = 2 esta variedad se llama curva hermitiana no degenerada . [3]
En PG (2, q 2 ) para algún poder primo q , el conjunto de puntos de una curva hermitiana no degenerada forman un unital, [4] que se llama un unital clásico .
Dejar ser una curva hermitiana no degenerada en por algo de poder principal . Como todas las curvas hermitianas no degeneradas en el mismo plano son proyectivamente equivalentes,se puede describir en términos de coordenadas homogéneas de la siguiente manera: [5]
Ree unitals
H. Lüneburg construyó otra familia de unitales basada en los grupos Ree . [6] Sea Γ = R ( q ) el grupo Ree de tipo 2 G 2 de orden ( q 3 + 1) q 3 ( q - 1) donde q = 3 2 m +1 . Sea P el conjunto de todos los subgrupos q 3 + 1 Sylow 3 de Γ. Γ actúa doblemente transitivamente en este conjunto por conjugación (será conveniente pensar en estos subgrupos como puntos sobre los que Γ está actuando). Para cualquier S y T en P , el estabilizador puntual , Γ S , T es cíclico de orden q - 1, y por lo tanto contiene una involución única , μ. Cada uno de tales correcciones de involución exactamente q + 1 puntos de P . Construya un diseño de bloques en los puntos de P cuyos bloques son los conjuntos de puntos fijos de estas diversas involuciones μ. Dado que Γ actúa doblemente transitivamente sobre P , este será un diseño de 2 con parámetros 2- ( q 3 + 1, q + 1, 1) llamado un unital Ree. [7]
Lüneburg también mostró que los unitales Ree no se pueden incrustar en planos proyectivos de orden q 2 ( desarguesiano o no) de modo que el grupo de automorfismo Γ sea inducido por un grupo de colineación del plano. [8] Para q = 3, Grüning [9] demostró que un unital Ree no se puede incrustar en ningún plano proyectivo de orden 9. [10]
Construcciones de Buekenhout
Examinando el unital clásico en en el modelo de Bruck / Bose , Buekenhout [11] proporcionó dos construcciones, que juntas demostraron la existencia de un unital incrustado en cualquier plano de traslación bidimensional finito . Metz [12] posteriormente mostró que una de las construcciones de Buekenhout en realidad produce unitales no clásicos en todos los planos desarguesianos finitos de orden cuadrado al menos 9. Estos unitales de Buekenhout-Metz se han estudiado extensamente. [13] [14]
La idea central en la construcción de Buekenhout es que cuando uno mira en el modelo de Bruck / Bose de dimensiones superiores, que se encuentra en , la ecuación de la curva hermitiana satisfecha por un unital clásico se convierte en una superficie cuádrica en , ya sea un punto-cono sobre un ovoide tridimensional si la línea representada por la extensión del modelo de Bruck / Bose se encuentra con el unital en un punto, o un cuádrico no singular en caso contrario. Debido a que estos objetos tienen patrones de intersección conocidos con respecto a los planos de, el conjunto de puntos resultante sigue siendo un unital en cualquier plano de traslación cuya extensión de generación contenga todas las mismas líneas que la extensión original dentro de la superficie cuádrica. En el caso del cono ovoidal, esta intersección forzada consiste en una sola línea, y cualquier extensión se puede mapear en una extensión que contenga esta línea, mostrando que cada plano de traslación de esta forma admite un unital incrustado.
Unitales con
En los cuatro planos proyectivos de orden 9 (el plano desarguesiano PG (2,9), el plano de Hall de orden 9, el plano de Hall dual de orden 9 y el plano de Hughes de orden 9. [b] ), una búsqueda exhaustiva por computadora por Penttila y Royle [15] encontraron 18 unitales (hasta equivalencia) con n = 3 en estos cuatro planos: dos en PG (2,9) (ambos Buekenhout), cuatro en el plano Hall (dos Buekenhout, dos no), y así otros cuatro en el plano de Hall dual y ocho en el plano de Hughes. Sin embargo, uno de los unitales Buekenhout en el plano Hall es auto-dual, [16] y por lo tanto se cuenta nuevamente en el plano Hall dual. Por lo tanto, hay 17 unitarios incrustables distintos con n = 3. Por otro lado, una búsqueda informática no exhaustiva encontró más de 900 diseños mutuamente no isomórficos que son unitales con n = 3. [17]
Unitales isomórficos versus equivalentes
Dado que los unitales son diseños de bloques , se dice que dos unitales son isomorfos si hay un isomorfismo de diseño entre ellos, es decir, una biyección entre los conjuntos de puntos que asigna bloques a bloques. Este concepto no tiene en cuenta la propiedad de incrustabilidad, por lo que decimos que dos unitales, incrustados en el mismo plano ambiental, son equivalentes si existe una colineación del plano que mapea un unital al otro. [10]
Notas
- ^ En particular, Barwick & Ebert 2008 , p. 28
- ^ PG (2,9) y el plano de Hughes son ambos auto-duales.
Citas
- ^ Bagchi y Bagchi 1989 , págs. 51–61.
- ^ Barwick y Ebert 2008 , p. 15.
- ^ Barwick y Ebert 2008 , p. 18.
- ^ Dembowski 1968 , p. 104.
- ^ Barwick y Ebert 2008 , p. 21.
- ^ Lüneburg , 1966 , págs. 256-259.
- ^ Assmus y Key 1992 , p. 209.
- ^ Dembowski 1968 , p. 105.
- ^ Grüning 1986 , págs. 473–480.
- ↑ a b Barwick y Ebert , 2008 , p. 29.
- ↑ Buekenhout, F. (1 de julio de 1976). "Existencia de unitales en planos de orden de traslación finitos q 2 {\ Displaystyle q ^ {2}} con un núcleo de orden q {\ Displaystyle q} " . Geometriae Dedicata . 5 (2): 189-194. Doi : 10.1007 / BF00145956 . ISSN 1572-9168 .
- ^ Metz, Rudolf (1 de marzo de 1979). "Sobre una clase de unitales" . Geometriae Dedicata . 8 (1): 125-126. doi : 10.1007 / BF00147935 . ISSN 1572-9168 .
- ^ "Sobre unitales Buekenhout-Metz de orden impar" . Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 60 (1): 67–84. 1992-05-01. doi : 10.1016 / 0097-3165 (92) 90038-V . ISSN 0097-3165 .
- ^ "Sobre los unitales Buekenhout-Metz de orden par" . Revista europea de combinatoria . 13 (2): 109-117. 1992-03-01. doi : 10.1016 / 0195-6698 (92) 90042-X . ISSN 0195-6698 .
- ^ Penttila y Royle 1995 , págs. 229–245.
- ^ Grüning, Klaus (1 de junio de 1987). "Una clase de unitarios de orden q {\ Displaystyle q} que se puede incrustar en dos planos de orden diferentes q 2 {\ Displaystyle q ^ {2}} " . Journal of Geometry . 29 (1): 61-77. Doi : 10.1007 / BF01234988 . ISSN 1420-8997 .
- ^ Betten, Betten y Tonchev 2003 , págs. 23–33.
Fuentes
- Assmus, EF Jr; Key, JD (1992), Diseños y sus códigos , Cambridge Tracts in Mathematics # 103, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41361-3
- Bagchi, S .; Bagchi, B. (1989), "Diseños a partir de pares de campos finitos. Una U (6) unital cíclica y otros 2 diseños de Steiner regulares", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 52 : 51-61, doi : 10.1016 / 0097-3165 (89) 90061-7
- Barwick, Susan; Ebert, Gary (2008), Unitales en planos proyectivos , Springer, doi : 10.1007 / 978-0-387-76366-8 , ISBN 978-0-387-76364-4
- Betten, A .; Betten, D .; Tonchev, VD (2003), "Unitales y códigos", Matemáticas discretas , 267 : 23–33, doi : 10.1016 / s0012-365x (02) 00600-3
- Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275 - a través de Internet Archive
- Grüning, K. (1986), "Das Kleinste Ree-Unital", Archiv der Mathematik , 46 : 473–480, doi : 10.1007 / bf01210788
- Lüneburg, H. (1966), "Algunas observaciones sobre el grupo Ree de tipo (G 2 )", Journal of Algebra , 3 : 256-259, doi : 10.1016 / 0021-8693 (66) 90014-7
- Penttila, T .; Royle, GF (1995), "Conjuntos de tipo ( m, n ) en los planos afín y proyectivo de orden nueve", Diseños, códigos y criptografía , 6 : 229–245, doi : 10.1007 / bf01388477