Semi-simplicidad
En matemáticas, la semi-simplicidad es un concepto generalizado en disciplinas como el álgebra lineal , el álgebra abstracta , la teoría de la representación , la teoría de categorías y la geometría algebraica . Un objeto semi-simple es aquel que se puede descomponer en una suma de objetos simples , y los objetos simples son aquellos que no contienen subobjetos propios no triviales. Las definiciones precisas de estas palabras dependen del contexto.
Por ejemplo, si G es un grupo finito , se dice que una representación V no trivial de dimensión finita sobre un campo es simple si las únicas subrepresentaciones que contiene son {0} o V (también se denominan representaciones irreductibles ). Ahora bien, el teorema de Maschke dice que cualquier representación de dimensión finita de un grupo finito es una suma directa de representaciones simples (siempre que la característicadel campo base no divide el orden del grupo). Entonces, en el caso de grupos finitos con esta condición, toda representación de dimensión finita es semi-simple. Especialmente en el álgebra y la teoría de la representación, la "semi-simplicidad" también se llama reducibilidad completa . Por ejemplo, el teorema de Weyl en reducibilidad completa dice una representación de dimensión finita de un Semisimple compacto grupo de Lie es semisimple.
Una matriz cuadrada (en otras palabras un operador lineal con V finito espacio vectorial dimensional) se dice que es sencillo si sus únicos subespacios invariantes bajo T son {0} y V . Si el campo es algebraicamente cerrado (como los números complejos ), entonces las únicas matrices simples son de tamaño 1 por 1. Una matriz semi-simple es aquella que es similar a una suma directa de matrices simples ; si el campo está algebraicamente cerrado, es lo mismo que diagonalizable .
Estas nociones de semi-simplicidad pueden unificarse usando el lenguaje de módulos semi-simples y generalizarse a categorías semi-simples .
Si se consideran todos los espacios vectoriales (sobre un campo , como los números reales), los espacios vectoriales simples son aquellos que no contienen subespacios no triviales adecuados. Por tanto, los espacios vectoriales unidimensionales son los simples. Por tanto, es un resultado básico del álgebra lineal que cualquier espacio vectorial de dimensión finita es la suma directa de espacios vectoriales simples; en otras palabras, todos los espacios vectoriales de dimensión finita son semi-simples.
Una matriz cuadrada o, de manera equivalente, un operador lineal T en una dimensión finita espacio vectorial V es llamado semi-sencilla si cada T - subespacio invariante tiene una complementaria T -invariant subespacio. [1] [2] Esto es equivalente a que el polinomio mínimo de T sea libre de cuadrados.