oscilador van der pol

En dinámica , el oscilador Van der Pol es un oscilador no conservativo con amortiguamiento no lineal . Evoluciona en el tiempo según la ecuación diferencial de segundo orden :

donde x es la coordenada de posición , que es una función del tiempo t , y μ es un parámetro escalar que indica la no linealidad y la fuerza del amortiguamiento.

El oscilador Van der Pol fue propuesto originalmente por el ingeniero eléctrico y físico holandés Balthasar van der Pol mientras trabajaba en Philips . [1] Van der Pol encontró oscilaciones estables, [2] que posteriormente denominó oscilaciones de relajación [3] y ahora se conocen como un tipo de ciclo límite en circuitos eléctricos que emplean tubos de vacío . Cuando estos circuitos fueron conducidos cerca del ciclo límite , se vuelven arrastrados , es decir, la señal de conduccióntira de la corriente junto con él. Van der Pol y su colega, van der Mark, informaron en la edición de Nature de septiembre de 1927 que en ciertas frecuencias de transmisión se escuchaba un ruido irregular , [4] que luego se descubrió que era el resultado de un caos determinista . [5]

La ecuación de Van der Pol tiene una larga historia de uso en las ciencias físicas y biológicas . Por ejemplo, en biología, Fitzhugh [6] y Nagumo [7] ampliaron la ecuación en un campo plano como modelo para los potenciales de acción de las neuronas . La ecuación también se ha utilizado en sismología para modelar las dos placas en una falla geológica , [8] y en estudios de fonación para modelar los osciladores de las cuerdas vocales derecha e izquierda . [9]

El teorema de Liénard se puede utilizar para probar que el sistema tiene un ciclo límite. Aplicando la transformación de Liénard , donde el punto indica la derivada temporal, el oscilador de Van der Pol se puede escribir en su forma bidimensional: [10]

Otra forma de uso común basada en la transformación conduce a:

Retrato de fase del oscilador de Van der Pol no forzado, que muestra un ciclo límite y el campo de dirección
Evolución del ciclo límite en el plano de fase. El ciclo límite comienza como un círculo y, con la variación de μ , se vuelve cada vez más nítido. Un ejemplo de un oscilador de relajación .
Oscilación de relajación en el oscilador de Van der Pol sin forzamiento externo. El parámetro de amortiguamiento no lineal es igual a μ  = 5.
Las condiciones iniciales elegidas al azar son atraídas a una órbita estable.
Comportamiento caótico en el oscilador de Van der Pol con forzamiento sinusoidal. El parámetro de amortiguamiento no lineal es igual a μ  = 8.53, mientras que el forzamiento tiene amplitud A  = 1.2 y frecuencia angular ω  = 2π / 10.
Circuito eléctrico que involucra un triodo , lo que resulta en un oscilador de Van der Pol forzado. [15] El circuito contiene: un triodo, una resistencia R , un condensador C , un conjunto de inductores acoplados con autoinductancia L e inductancia mutua M. En el circuito serial RLC hay una corriente i , y hacia el ánodo del triodo ("placa") una corriente i a , mientras que hay un voltaje u g en la rejilla de control del triodo. El oscilador de Van der Pol es forzado por una fuente de tensión CA E s .