En combinatoria , la identidad de Vandermonde (o la convolución de Vandermonde ) es la siguiente identidad para los coeficientes binomiales :
para cualquier número entero no negativo r , m , n . La identidad lleva el nombre de Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), aunque ya era conocida en 1303 por el matemático chino Zhu Shijie . [1]
Hay un q -análogo a este teorema llamado la q -identidad de Vandermonde .
La identidad de Vandermonde se puede generalizar de numerosas formas, incluida la identidad
Pruebas
Prueba algebraica
En general, el producto de dos polinomios con grados de m y n , respectivamente, está dada por
donde utilizamos la convención de que un i = 0 para todos los números enteros i > m y b j = 0 para todos los enteros j > n . Por el teorema del binomio ,
Usando el teorema del binomio también para los exponentes m y n , y entonces la fórmula anterior para el producto de polinomios, obtenemos
donde la convención anteriormente para los coeficientes de los polinomios de acuerdo con la definición de los coeficientes binomiales, porque ambos dan cero para todo i > m y j > n , respectivamente.
Al comparar los coeficientes de x r , se sigue la identidad de Vandermonde para todos los enteros r con 0 ≤ r ≤ m + n . Para enteros mayores r , ambos lados de la identidad de Vandermonde son cero debido a la definición de coeficientes binomiales.
Prueba combinatoria
La identidad de Vandermonde también admite una prueba combinatoria de doble conteo , como sigue. Suponga que un comité está formado por m hombres y n mujeres. ¿De cuántas formas se puede formar un subcomité de r miembros? La respuesta es
La respuesta también es la suma de todos los valores posibles de k , del número de subcomités formados por k hombres y r - k mujeres:
Prueba geométrica
Tome una cuadrícula rectangular de r x ( m + n - r ) cuadrados. Existen
caminos que comienzan en el vértice inferior izquierdo y, moviéndose solo hacia arriba o hacia la derecha, terminan en el vértice superior derecho (esto se debe a que r se mueve hacia la derecha y m + n - r hacia arriba deben realizarse (o viceversa) en cualquier orden, y la longitud total del trayecto es m + n ). Llame al vértice inferior izquierdo (0, 0).
Existen caminos que comienzan en (0, 0) que terminan en ( k , m - k ), ya que k se mueve hacia la derecha y m - k se deben realizar movimientos hacia arriba (y la longitud del camino es m ). Del mismo modo, haycaminos que comienzan en ( k , m - k ) que terminan en ( r , m + n - r ), como un total de r - k movimientos a la derecha y ( m + n - r ) - ( m - k ) movimientos hacia arriba deben ser hecho y la longitud del camino debe ser r - k + ( m + n - r ) - ( m - k ) = n . Por lo tanto hay
caminos que comienzan en (0, 0), terminan en ( r , m + n - r ) y pasan por ( k , m - k ). Este es un subconjunto de todos los caminos que comienzan en (0, 0) y terminan en ( r , m + n - r ), por lo que la suma de k = 0 a k = r (ya que el punto ( k , m - k ) es confinado a estar dentro del cuadrado) para obtener el número total de caminos que comienzan en (0, 0) y terminan en ( r , m + n - r ).
Generalizaciones
Identidad generalizada de Vandermonde
Se puede generalizar la identidad de Vandermonde de la siguiente manera:
Esta identidad se puede obtener mediante la derivación algebraica anterior cuando se utilizan más de dos polinomios, o mediante un simple argumento de doble recuento .
Por un lado, se elige elementos de un primer conjunto de elementos; luego de otro conjunto, y así sucesivamente, a través de tales conjuntos, hasta un total de elementos han sido elegidos de la conjuntos. Por tanto, uno elige elementos de en el lado izquierdo, que es exactamente lo que se hace en el lado derecho.
Identidad Chu – Vandermonde
La identidad se generaliza a argumentos no enteros. En este caso, se conoce como la identidad Chu-Vandermonde (véase Askey 1975, págs. 59-60 ) y toma la forma
para el general de valor complejo s y t y cualquier número entero no negativo n . Se puede demostrar a lo largo de las líneas de la prueba algebraica anterior multiplicando la serie binomial por y y comparar términos con la serie binomial para .
Esta identidad puede reescribirse en términos de la caída de los símbolos Pochhammer como
en cuya forma es claramente reconocible como una variante umbral del teorema binomial (para más información sobre las variantes umbral del teorema binomial, ver tipo binomial ). La identidad de Chu-Vandermonde también puede verse como un caso especial del teorema hipergeométrico de Gauss , que establece que
dónde es la función hipergeométrica yes la función gamma . Uno recupera la identidad Chu-Vandermonde tomando a = - ny aplicando la identidad
generosamente.
La identidad Rothe-Hagen es una generalización adicional de esta identidad.
La distribución de probabilidad hipergeométrica
Cuando ambos lados han sido divididos por la expresión de la izquierda, de modo que la suma sea 1, entonces los términos de la suma pueden interpretarse como probabilidades. La distribución de probabilidad resultante es la distribución hipergeométrica . Esa es la distribución de probabilidad del número de canicas rojas en r sorteos sin reemplazo de una urna que contiene n canicas rojas ym azules.
Ver también
Referencias
- ^ Ver Askey, Richard (1975), Polinomios ortogonales y funciones especiales , Serie de conferencias regionales en Matemáticas aplicadas, 21 , Filadelfia, PA: SIAM, p. 59–60 por la historia.