Dejar y ser dos series infinitas con términos complejos. El producto de Cauchy de estas dos series infinitas se define mediante una convolución discreta de la siguiente manera:
con coeficientes complejos y . El producto de Cauchy de estas dos series de potencias se define mediante una convolución discreta de la siguiente manera:
dónde .
Convergencia y teorema de Mertens
Sean ( a n ) n ≥0 y ( b n ) n ≥0 secuencias reales o complejas. Franz Mertens demostró que, si la serieconverge a A yconverge a B , y al menos uno de ellos converge absolutamente , entonces su producto de Cauchy converge a AB . [15] El teorema sigue siendo válido en un álgebra de Banach (vea la primera línea de la siguiente demostración).
No es suficiente que ambas series sean convergentes; si ambas secuencias son condicionalmente convergentes , el producto de Cauchy no tiene que converger hacia el producto de las dos series, como muestra el siguiente ejemplo:
que son solo condicionalmente convergentes (la divergencia de la serie de los valores absolutos se deriva de la prueba de comparación directa y la divergencia de la serie armónica ). Los términos de su producto Cauchy están dados por
para cada entero n ≥ 0 . Dado que para cada k ∈ {0, 1, ..., n } tenemos las desigualdades k + 1 ≤ n + 1 y n - k + 1 ≤ n + 1 , se sigue para la raíz cuadrada en el denominador que √ ( k + 1) ( n - k + 1) ≤ n +1 , por lo tanto, debido a que hay n + 1 sumandos,
para cada entero n ≥ 0 . Por lo tanto, c n no converge a cero cuando n → ∞ , por lo tanto, la serie de ( c n ) n ≥0 diverge según el término prueba .
Prueba del teorema de Mertens
Por simplicidad, lo probaremos para números complejos. Sin embargo, la prueba que estamos a punto de dar es formalmente idéntica para un álgebra de Banach arbitraria (ni siquiera se requiere conmutatividad o asociatividad).
Fijar ε > 0 . Desdepor convergencia absoluta, y dado que B n converge a B cuando n → ∞ , existe un número entero N tal que, para todos los números enteros n ≥ N ,
( 2 )
(este es el único lugar donde se usa la convergencia absoluta). Dado que la serie de ( a n ) n ≥0 converge, el individuo a n debe converger a 0 por el término prueba . Por tanto, existe un número entero M tal que, para todos los números enteros n ≥ M ,
( 3 )
Además, dado que A n converge a A cuando n → ∞ , existe un número entero L tal que, para todos los números enteros n ≥ L ,
( 4 )
Luego, para todos los enteros n ≥ max { L , M + N } , use la representación ( 1 ) para C n , divida la suma en dos partes, use la desigualdad del triángulo para el valor absoluto y finalmente use las tres estimaciones ( 2 ), ( 3 ) y ( 4 ) para demostrar que
En los casos en que las dos secuencias son convergentes pero no absolutamente convergentes, el producto de Cauchy sigue siendo sumable por Cesàro . Específicamente:
Si , son secuencias reales con y luego
Esto se puede generalizar al caso en el que las dos secuencias no son convergentes sino simplemente sumables Cesàro:
Teorema
Para y , suponga la secuencia es sumable con la suma A y es sumable con suma B . Entonces su producto Cauchy essumable con la suma AB .
Ejemplos de
Para algunos , dejar y . Luego
por definición y la fórmula binomial . Dado que, formalmente , y , hemos demostrado que . Dado que el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series, hemos probado la fórmula para todos .
Como segundo ejemplo, dejemos para todos . Luego para todos entonces el producto Cauchy no converge.
Generalizaciones
Todo lo anterior se aplica a las secuencias en ( números complejos ). El producto Cauchy se puede definir para series en elespacios (espacios euclidianos ) donde la multiplicación es el producto interno . En este caso, tenemos el resultado de que si dos series convergen absolutamente, entonces su producto de Cauchy converge absolutamente al producto interno de los límites.
Productos de un número finito de series infinitas
Dejar tal que (en realidad, lo siguiente también es cierto para pero la afirmación se vuelve trivial en ese caso) y dejemos ser series infinitas con coeficientes complejos, de los cuales todos excepto el el uno converge absolutamente, y el el uno converge. Entonces la serie
converge y tenemos:
Esta afirmación puede probarse por inducción sobre : El caso por es idéntica a la afirmación sobre el producto Cauchy. Esta es nuestra base de inducción.
El paso de inducción es el siguiente: Sea la afirmación verdadera para un tal que , y deja ser series infinitas con coeficientes complejos, de los cuales todos excepto el el uno converge absolutamente, y el el uno converge. Primero aplicamos la hipótesis de inducción a la serie. Obtenemos que la serie
converge, y por lo tanto, por la desigualdad del triángulo y el criterio de sándwich, la serie
converge, y de ahí la serie
converge absolutamente. Por lo tanto, por la hipótesis de inducción, por lo que demostró Mertens, y por el cambio de nombre de las variables, tenemos:
Por lo tanto, la fórmula también es válida para .
Relación con la convolución de funciones
Una secuencia finita puede verse como una secuencia infinita con solo un número finito de términos distintos de cero, o en otras palabras, como una función con soporte finito. Para cualquier función de valor complejo f , g encon soporte finito, uno puede tomar su convolución :
Luego es lo mismo que el producto de Cauchy de y .
De manera más general, dado un semigrupo unital S , se puede formar el álgebra de semigrupo de S , con la multiplicación dada por convolución. Si uno toma, por ejemplo,, luego la multiplicación en es una generalización del producto Cauchy a una dimensión superior.
Notas
^ Canuto y Tabaco 2015 , p. 20.
^ Bloch , 2011 , p. 463.
^ Friedman y Kandel 2011 , p. 204.
^ Ghorpade y Limaye , 2006 , p. 416.
^ Hijab 2011 , p. 43.
^ Montesinos, Zizler y Zizler 2015 , p. 98.
^ Oberguggenberger y Ostermann 2011 , p. 322.
^ Pedersen , 2015 , p. 210.
^ Ponnusamy 2012 , p. 200.
^ Pugh 2015 , p. 210.
^ Sohrab 2014 , p. 73.
^ Canuto y Tabaco 2015 , p. 53.
^ Mathonline , producto de Cauchy de la serie Power.
^ Weisstein , producto de Cauchy.
^ Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill. pag. 74.
Referencias
Apostol, Tom M. (1974), Análisis matemático (2ª ed.), Addison Wesley, pág. 204, ISBN 978-0-201-00288-1.
Bloch, Ethan D. (2011), Los números reales y el análisis real , Springer , ISBN 9780387721767.