Un modelo de tasa corta , en el contexto de derivados de tasa de interés , es un modelo matemático que describe la evolución futura de las tasas de interés al describir la evolución futura de la tasa corta , generalmente escrito.
La tasa corta
En un modelo de tasa corta, la variable de estado estocástico se toma como la tasa al contado instantánea . [1] La tasa corta, , entonces, es la tasa de interés ( compuesta continuamente , anualizada) a la que una entidad puede pedir prestado dinero durante un período de tiempo infinitesimalmente corto desde el momento. La especificación de la tasa corta actual no especifica la curva de rendimiento completa . Sin embargo, los argumentos de no arbitraje muestran que, bajo algunas condiciones técnicas bastante relajadas, si modelamos la evolución decomo un proceso estocástico bajo una medida neutral al riesgo , luego el precio en el momento de un bono cupón cero con vencimiento en el momento con un pago de 1 viene dado por
dónde es la filtración natural del proceso. Las tasas de interés implícitas en los bonos cupón cero forman una curva de rendimiento, o más precisamente, una curva cero. Por lo tanto, especificar un modelo para la tasa corta especifica los precios futuros de los bonos. Esto significa que las tasas a plazo instantáneas también se especifican mediante la fórmula habitual
Modelos particulares de tasa corta
A lo largo de esta sección representa un movimiento browniano estándar bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo ysu diferencial . Donde el modelo es lognormal , una variablese supone que sigue un proceso de Ornstein-Uhlenbeck y se supone que sigue .
Modelos de tasa corta de un factor
A continuación se muestran los modelos de un factor, donde un solo factor estocástico , la tasa corta, determina la evolución futura de todas las tasas de interés. Aparte de Rendleman-Bartter y Ho-Lee, que no capturan la reversión media de las tasas de interés, estos modelos pueden considerarse casos específicos de procesos de Ornstein-Uhlenbeck. Los modelos Vasicek, Rendleman-Bartter y CIR tienen solo un número finito de parámetros libres, por lo que no es posible especificar estos valores de parámetros de manera que el modelo coincida con los precios de mercado observados ("calibración"). Este problema se supera permitiendo que los parámetros varíen de forma determinista con el tiempo. [2] [3] De esta manera, Ho-Lee y los modelos posteriores se pueden calibrar con los datos del mercado, lo que significa que estos pueden devolver exactamente el precio de los bonos que comprenden la curva de rendimiento. La implementación suele ser a través de un árbol de tipo corto ( binomial ) [4] o simulación; consulte el modelo Lattice (finanzas) § Derivados de tipos de interés y métodos Monte Carlo para la valoración de opciones .
- El modelo de Merton (1973) explica la tasa corta como: dónde es un movimiento browniano unidimensional bajo la medida de la martingala . [5]
- El modelo de Vasicek (1977) modela la tasa corta como; a menudo está escrito. [6]
- El modelo de Rendleman-Bartter (1980) explica la tasa corta como. [7]
- El modelo de Cox-Ingersoll-Ross (1985) supone, a menudo está escrito . Lafactor excluye (generalmente) la posibilidad de tasas de interés negativas. [8]
- El modelo Ho-Lee (1986) modela la tasa corta como. [9]
- El modelo de Hull-White (1990), también llamado modelo extendido de Vasicek, postula. En muchas presentaciones uno o más de los parámetros y no dependen del tiempo. El modelo también se puede aplicar como lognormal. La implementación basada en celosía suele ser trinomial . [10] [11]
- El modelo Black-Derman-Toy (1990) ha para la volatilidad del tipo de interés corto dependiente del tiempo y de lo contrario; el modelo es lognormal. [12]
- El modelo de Black-Karasinski (1991), que es lognormal, ha. [13] El modelo puede verse como la aplicación logarítmica normal de Hull-White; [14] su implementación basada en celosía es similarmente trinomial (binomio que requiere varios pasos de tiempo). [4]
- El modelo de Kalotay-Williams-Fabozzi (1993) tiene la tasa corta como, un análogo logarítmico normal del modelo Ho-Lee, y un caso especial del modelo Black-Derman-Toy. [15] Este enfoque es efectivamente similar al " modelo original de Salomon Brothers " (1987), [16] también una variante lognormal de Ho-Lee. [17]
Modelos de tasa corta de múltiples factores
Además de los modelos de un factor anteriores, también hay modelos multifactoriales de la tasa corta, entre ellos los más conocidos son el modelo de dos factores de Longstaff y Schwartz y el modelo de tres factores de Chen (también llamado "modelo de media estocástico y volatilidad estocástica" ). Tenga en cuenta que a los efectos de la gestión de riesgos, "para crear simulaciones realistas de tipos de interés ", estos modelos de tipos de interés cortos multifactoriales a veces se prefieren a los modelos de un factor, ya que producen escenarios que, en general, son mejores "congruentes con los actuales movimientos de la curva de rendimiento ". [18]
- El modelo Longstaff-Schwartz (1992) supone que la dinámica de las tasas cortas está dada por
- donde la tasa corta se define como
- [19]
- El modelo de Chen (1996) que tiene una media estocástica y volatilidad de la tasa corta, viene dada por
- [20]
Otros modelos de tipos de interés
El otro marco importante para la modelización de tipos de interés es el marco de Heath-Jarrow-Morton (HJM). A diferencia de los modelos de tasa corta descritos anteriormente, esta clase de modelos generalmente no es de Markov. Esto hace que los modelos HJM generales sean computacionalmente intratables para la mayoría de los propósitos. La gran ventaja de los modelos HJM es que brindan una descripción analítica de toda la curva de rendimiento, en lugar de solo la tasa corta. Para algunos propósitos (por ejemplo, valoración de valores respaldados por hipotecas), esto puede ser una gran simplificación. Los modelos Cox-Ingersoll-Ross y Hull-White en una o más dimensiones pueden expresarse directamente en el marco de HJM. Otros modelos de tasa corta no tienen ninguna representación HJM dual simple.
El marco HJM con múltiples fuentes de aleatoriedad, incluido el modelo Brace-Gatarek-Musiela y los modelos de mercado , a menudo se prefiere para modelos de mayor dimensión.
Los modelos basados en la tasa sombra de Fischer Black se utilizan cuando las tasas de interés se acercan al límite inferior cero .
Ver también
- Atribución de renta fija
Referencias
- ^ Modelos de tasa corta , Prof. Andrew Lesniewski, NYU
- ^ Una descripción general de los modelos de opciones de tasa de interés Archivado el 6 de abril de 2012 en la Wayback Machine , Prof. Farshid Jamshidian , Universidad de Twente
- ^ Modelos de velocidad corta de tiempo continuo Archivado el 23 de enero de 2012 en la Wayback Machine , Prof Martin Haugh, Universidad de Columbia
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Otras lecturas
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