En álgebra , un radical anidado es una expresión radical (una que contiene un signo de raíz cuadrada, un signo de raíz cúbica, etc.) que contiene (anida) otra expresión radical. Ejemplos incluyen
que surge al discutir el pentágono regular , y otros más complicados como
Desanudado
Algunos radicales anidados se pueden reescribir en una forma que no esté anidada. Por ejemplo,
La reescritura de un radical anidado de esta forma se denomina desanidación . Esto no siempre es posible e, incluso cuando es posible, a menudo es difícil.
Dos raíces cuadradas anidadas
En el caso de dos raíces cuadradas anidadas, el siguiente teorema resuelve completamente el problema de la desnidación. [1]
Si una y c son números racionales y c no es el cuadrado de un número racional, hay dos números racionales x y y de tal manera que
si y solo si es el cuadrado de un número racional d .
Si el radical anidada es real, X e Y son los dos números
- y dónde es un número racional.
En particular, si una y c son números enteros, luego 2 x y 2 y son números enteros.
Este resultado incluye desanidación de la forma
como z siempre se puede escribir y al menos uno de los términos debe ser positivo (porque el lado izquierdo de la ecuación es positivo).
Una fórmula de anidación más general podría tener la forma
Sin embargo, la teoría de Galois implica que el lado izquierdo pertenece a o debe obtenerse cambiando el signo de o ambos. En el primer caso, esto significa que uno puede tomar x = c y En el segundo caso, y otro coeficiente debe ser cero. Siuno puede cambiar el nombre de xy como x para obtener Proceder de manera similar si resulta que uno puede suponer Esto muestra que la desanudación aparentemente más general siempre se puede reducir a la anterior.
Prueba : Al elevar al cuadrado, la ecuación
es equivalente a
y, en el caso de un menos en el lado derecho,
- | x | ≥ | y | ,
(las raíces cuadradas no son negativas por definición de la notación). A medida que la desigualdad siempre puede ser satisfecha por posiblemente el intercambio de x y y , la solución de la primera ecuación en x y y es equivalente con la solución de
Esta igualdad implica que pertenece al campo cuadrático En este campo, cada elemento puede escribirse de forma única. con y siendo números racionales. Esto implica queno es racional (de lo contrario, el lado derecho de la ecuación sería racional; pero el lado izquierdo es irracional). Como x e y debe ser racional, el cuadrado dedebe ser racional. Esto implica que en la expresión de como Por lo tanto
para algún número racional La singularidad de la descomposición en 1 y implica así que la ecuación considerada es equivalente a
Se deduce por las fórmulas de Vieta que X y Y debe ser raíces de la ecuación cuadrática
su (≠ 0, de lo contrario c sería el cuadrado de una ), por lo tanto, x y y debe haber
- y
Por lo tanto x e y son racionales si y sólo si es un número racional.
Para elegir explícitamente los diversos signos, se deben considerar solo raíces cuadradas reales positivas y, por lo tanto, se supone que c > 0 . La ecuacionmuestra que | a | > √ c . Por lo tanto, si el radical anidado es real, y si es posible desanidar, entonces a > 0 . Entonces, la solución escribe
Algunas identidades de Ramanujan
Srinivasa Ramanujan demostró una serie de curiosas identidades que involucraban a radicales anidados. Entre ellos se encuentran los siguientes: [2]
Otros radicales de aspecto extraño inspirados por Ramanujan incluyen:
Algoritmo de Landau
En 1989, Susan Landau introdujo el primer algoritmo para decidir qué radicales anidados pueden definirse. [4] Los algoritmos anteriores funcionaron en algunos casos, pero no en otros. El algoritmo de Landau involucra raíces de unidad complejas y se ejecuta en tiempo exponencial con respecto a la profundidad del radical anidado. [5]
En trigonometría
En trigonometría , los senos y cosenos de muchos ángulos se pueden expresar en términos de radicales anidados. Por ejemplo,
y
La última igualdad resulta directamente de los resultados de § Dos raíces cuadradas anidadas .
En la solución de la ecuación cúbica
Los radicales anidados aparecen en la solución algebraica de la ecuación cúbica . Cualquier ecuación cúbica se puede escribir en forma simplificada sin un término cuadrático, como
cuya solución general para una de las raíces es
En el caso en el que el cúbico tiene solo una raíz real, la raíz real está dada por esta expresión, siendo los radicandos de las raíces cúbicas reales y las raíces cúbicas las raíces cúbicas reales. En el caso de tres raíces reales, la expresión de la raíz cuadrada es un número imaginario; aquí cualquier raíz real se expresa definiendo la primera raíz cúbica como cualquier raíz cúbica compleja específica del radicando complejo, y definiendo la segunda raíz cúbica como el conjugado complejo del primero. En general, los radicales anidados en esta solución no se pueden simplificar a menos que la ecuación cúbica tenga al menos una solución racional . De hecho, si el cúbico tiene tres soluciones irracionales pero reales, tenemos el casus irreducibilis , en el que las tres soluciones reales se escriben en términos de raíces cúbicas de números complejos. Por otro lado, considere la ecuación
que tiene las soluciones racionales 1, 2 y −3. La fórmula de solución general dada arriba da las soluciones
Para cualquier elección dada de raíz cúbica y su conjugado, esto contiene radicales anidados que involucran números complejos, sin embargo, es reducible (aunque no obviamente) a una de las soluciones 1, 2 o –3.
Radicales infinitamente anidados
Raíces cuadradas
Bajo ciertas condiciones raíces cuadradas infinitamente anidadas como
representar números racionales. Este número racional se puede encontrar al darse cuenta de que x también aparece bajo el signo radical, lo que da la ecuación
Si resolvemos esta ecuación, encontramos que x = 2 (la segunda solución x = −1 no se aplica, bajo la convención de que se entiende la raíz cuadrada positiva). Este enfoque también se puede utilizar para mostrar que, en general, si n > 0, entonces
y es la raíz positiva de la ecuación x 2 - x - n = 0. Para n = 1, esta raíz es la proporción áurea φ, aproximadamente igual a 1.618. El mismo procedimiento también funciona para obtener, si n > 1,
que es la raíz positiva de la ecuación x 2 + x - n = 0.
Los radicales infinitos de Ramanujan
Ramanujan planteó el siguiente problema al Journal of Indian Mathematical Society :
Esto se puede resolver observando una formulación más general:
Establecer esto en F ( x ) y elevar al cuadrado ambos lados nos da
que se puede simplificar a
Entonces se puede demostrar que
Entonces, estableciendo a = 0, n = 1 y x = 2, tenemos
Ramanujan declaró el siguiente desnesting radical infinito en su cuaderno perdido :
El patrón repetitivo de los signos es
Expresión de Viète para π
La fórmula de Viète para π , la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, es
Raíces cúbicas
En ciertos casos, raíces cúbicas infinitamente anidadas como
también puede representar números racionales. Nuevamente, al darnos cuenta de que toda la expresión aparece dentro de sí misma, nos queda la ecuación
Si resolvemos esta ecuación, encontramos que x = 2. De manera más general, encontramos que
es la raíz real positiva de la ecuación x 3 - x - n = 0 para todo n > 0. Para n = 1, esta raíz es el número plástico ρ , aproximadamente igual a 1.3247.
El mismo procedimiento también funciona para obtener
como la raíz real de la ecuación x 3 + x - n = 0 para todo n > 1.
Teorema de convergencia de Herschfeld
Un radical infinitamente anidado (donde todos son no negativos ) converge si y solo si hay alguna tal que para todos . [6]
Prueba de "si"
Observamos que
- .
Además, la secuencia está aumentando monótonamente. Por lo tanto, converge, según el teorema de la convergencia monótona .
Prueba de "solo si"
Si la secuencia converge, entonces está acotado.
Sin embargo, , por eso también está acotado.
Ver también
Referencias
- ^ Euler, Leonhard (2012). Elementos de álgebra . Springer Science & Business Media. Capítulo VIII.
- ^ Landau, Susan (1993). "Una nota sobre 'Zippel Desnesting ' ". CiteSeerX 10.1.1.35.5512 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Berndt, Bruce; Chan, Heng; Zhang, Liang-Cheng (1998). "Radicales y unidades en la obra de Ramanujan" (PDF) . Acta Arithmetica . 87 (2): 145-158. doi : 10.4064 / aa-87-2-145-158 .
- ^ Landau, Susan (1992). "Simplificación de radicales anidados". 30º Simposio Anual sobre Fundamentos de la Informática . Revista de Computación . 21 . SIAM . págs. 85-110. CiteSeerX 10.1.1.34.2003 . doi : 10.1109 / SFCS.1989.63496 . ISBN 978-0-8186-1982-3. S2CID 29982884 .
- ^ Gkioulekas, Eleftherios (18 de agosto de 2017). "Sobre el desandado de raíces cuadradas anidadas" . Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 48 (6): 942–953. doi : 10.1080 / 0020739X.2017.1290831 . ISSN 0020-739X .
- ^ Herschfeld, Aaron (1935). "Sobre radicales infinitos". The American Mathematical Monthly . 42 (7): 419–429. doi : 10.2307 / 2301294 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301294 .
Otras lecturas
- Landau, Susan (1994). "Cómo enredar con un radical anidado". Intelligencer matemático . 16 (2): 49–55. doi : 10.1007 / bf03024284 . S2CID 119991567 .
- Disminución de la profundidad de anidamiento de expresiones que involucran raíces cuadradas
- Simplificación de raíces cuadradas de raíces cuadradas
- Weisstein, Eric W. "Raíz cuadrada" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Radical anidado" . MathWorld .