En matemáticas, un álgebra de operador de vértice ( VOA ) es una estructura algebraica que juega un papel importante en la teoría de campos conforme bidimensional y la teoría de cuerdas . Además de las aplicaciones físicas, las álgebras de operadores de vértices han demostrado ser útiles en contextos puramente matemáticos, como el alcohol ilegal monstruoso y la correspondencia geométrica de Langlands .
La noción relacionada de álgebra de vértices fue introducida por Richard Borcherds en 1986, motivado por una construcción de un álgebra de Lie de dimensión infinita debida a Igor Frenkel . En el curso de esta construcción, se emplea un espacio de Fock que admite una acción de operadores de vértice unidos a vectores de red. Borcherds formuló la noción de álgebra de vértices axiomatizando las relaciones entre los operadores de vértices de celosía, produciendo una estructura algebraica que permite construir nuevas álgebras de Lie siguiendo el método de Frenkel.
La noción de álgebra de operadores de vértices fue introducida como una modificación de la noción de álgebra de vértices por Frenkel, James Lepowsky y Arne Meurman en 1988, como parte de su proyecto para construir el módulo Moonshine . Observaron que muchas álgebras de vértices que aparecen en la naturaleza tienen una estructura adicional útil (una acción del álgebra de Virasoro) y satisfacen una propiedad acotada por debajo con respecto a un operador de energía. Motivados por esta observación, agregaron la acción de Virasoro y la propiedad acotada por debajo como axiomas.
Ahora tenemos una motivación post-hoc para estas nociones de la física, junto con varias interpretaciones de los axiomas que inicialmente no se conocían. Físicamente, los operadores de vértices que surgen de inserciones de campos holomorfos en puntos (es decir, vértices) en la teoría bidimensional de campos conformes admiten expansiones de productos de operadores cuando las inserciones chocan, y satisfacen precisamente las relaciones especificadas en la definición del álgebra de operadores de vértices. De hecho, los axiomas de un álgebra de operadores de vértices son una interpretación algebraica formal de lo que los físicos llaman álgebras quirales., o "álgebras de simetrías quirales", donde estas simetrías describen las identidades de Ward satisfechas por una teoría de campo conforme dada, incluida la invariancia conforme. Otras formulaciones de los axiomas del álgebra de vértices incluyen el trabajo posterior de Borcherds sobre anillos conmutativos singulares , álgebras sobre ciertas operaciones en curvas introducidas por Huang, Kriz y otros, y objetos teóricos del módulo D llamados álgebras quirales presentados por Alexander Beilinson y Vladimir Drinfeld . Si bien están relacionadas, estas álgebras quirales no son precisamente las mismas que los objetos con el mismo nombre que usan los físicos.
Ejemplos básicos importantes de álgebras de operadores de vértices incluyen VOA de celosía (modelado de teorías de campo conforme de celosía), VOA dadas por representaciones de álgebras afines de Kac-Moody (del modelo WZW ), las VOA de Virasoro (es decir, VOA correspondientes a representaciones del álgebra de Virasoro ) y el módulo moonshine V ♮ , que se distingue por su monstruosa simetría. Ejemplos más sofisticados, como las W-álgebras afines y el complejo quiral de Rham en una variedad compleja, surgen en la teoría de la representación geométrica y la física matemática .
El axioma de localidad tiene varias formulaciones equivalentes en la literatura, por ejemplo, Frenkel-Lepowsky-Meurman introdujo la identidad de Jacobi: