En finanzas , un swap de volatilidad es un contrato a plazo sobre la volatilidad realizada en el futuro de un activo subyacente determinado. Los swaps de volatilidad permiten a los inversores negociar la volatilidad de un activo directamente, de la misma forma que negociarían un índice de precios. Su pago al vencimiento es igual a
dónde:
- es la volatilidad realizada anualizada,
- es el golpe de volatilidad, y
- es una cantidad teórica previamente acordada.
es decir, el titular de un swap de volatilidad recibe por cada punto en el que la volatilidad realizada anualizada del subyacente superó el precio de envío de y, a la inversa, paga para cada punto, la volatilidad realizada no llega a la huelga. [1]
El subyacente suele ser un instrumento financiero con un mercado de opciones activo o líquido , como divisas , índices bursátiles o acciones individuales. A diferencia de una inversión en opciones, cuya exposición a la volatilidad está contaminada por su dependencia del precio, estos swaps proporcionan una exposición pura únicamente a la volatilidad. Este es realmente el caso solo para los swaps de volatilidad de inicio a futuro . Sin embargo, una vez que el swap tiene su fijación de activos, su valor de mercado también depende del precio actual del activo. Se pueden utilizar estos instrumentos para especular sobre los niveles de volatilidad futuros, para negociar el diferencial entre la volatilidad realizada e implícita o para cubrir la exposición a la volatilidad de otras posiciones o negocios.
Los swaps de volatilidad se cotizan y negocian con más frecuencia que los swaps de varianza muy similares pero más simples , que pueden replicarse con una combinación lineal de opciones y una posición dinámica en futuros. La diferencia entre los dos es la convexidad: la recompensa de un swap de varianza es lineal con la varianza pero convexa con la volatilidad. [1] Eso significa, inevitablemente, una réplica estática (una estrategia de compra y retención) de un swap de volatilidad es imposible. Sin embargo, usando el intercambio de varianza () como instrumento de cobertura y focalización en la volatilidad (), la volatilidad se puede escribir en función de la varianza:
y y elegido para minimizar la desviación cuadrada esperada esperada de los dos lados:
Entonces, si la probabilidad de volatilidades negativas realizadas es insignificante, se podría suponer que las volatilidades futuras son normales con una media y desviación estándar :
entonces los coeficientes de cobertura son:
Definición de la volatilidad realizada
La definición de la volatilidad realizada anualizada depende del punto de vista de los comerciantes sobre la observación del precio subyacente, que podría ser de forma discreta o continua en el tiempo. Para el primero, con la construcción análoga a la del swap de varianza , si existen puntos de muestreo de los precios subyacentes observados, dice, dónde por a . Definirel tronco natural regresa. Entonces, la volatilidad realizada anualizada de muestreo discreto se define por
que básicamente es la raíz cuadrada de la varianza realizada anualizada . Aquí, denota un factor anualizado que comúnmente se selecciona como el número del precio observado en un año, es decir, si el precio se controla diariamente o si se hace semanalmente. es la fecha de vencimiento del swap de volatilidad definida por .
La versión continua de la volatilidad realizada anualizada se define mediante la raíz cuadrada de la variación cuadrática del precio subyacente logarítmico-rendimiento:
dónde es la volatilidad instantánea del activo subyacente. Una vez que el número de observaciones de precios aumenta hasta el infinito, se puede encontrar que converge en probabilidad a [2] es decir
que representa la interconexión y la coherencia entre los dos enfoques.
Precios y valoración
En general, para un activo subyacente específico, el objetivo principal de los swaps de precios es encontrar un precio de ejercicio justo, ya que no hay ningún costo para celebrar el contrato. Uno de los enfoques más populares para tal equidad es explotar el método de fijación de precios de Martingala , que es el método para encontrar el valor presente esperado de un valor derivado dado con respecto a alguna medida de probabilidad neutral al riesgo (o medida de Martingala). Y cómo se elige dicha medida depende del modelo utilizado para describir la evolución de los precios.
Matemáticamente hablando, si suponemos que el proceso de precios sigue el modelo de Black-Scholes bajo la medida de martingala, luego resuelve el siguiente SDE:
dónde:
- representa la fecha de vencimiento del contrato de permuta,
- es la tasa de interés libre de riesgo (dependiente del tiempo),
- es la volatilidad del precio (dependiente del tiempo), y
- es un movimiento browniano bajo el espacio de probabilidad filtrado dónde es la filtración natural de .
Ya que sabemos que es el pago del swap de volatilidad al vencimiento en el caso de muestreo discreto (que se cambia a para el caso continuo), entonces su valor esperado en el momento , denotado por es
lo que da
debido al precio cero del swap, que define el valor de un ejercicio de volatilidad justo. La solución se puede descubrir de varias formas. Por ejemplo, obtenemos la fórmula de fijación de precios de forma cerrada una vez que la función de distribución de probabilidad de o es conocido, o calcularlo numéricamente mediante el método de Monte Carlo . Alternativamente, bajo ciertas restricciones, se puede utilizar el valor de las opciones europeas para aproximar la solución [3] .
Cambio de precios de volatilidad con muestreo continuo
Con respecto al argumento de Carr y Lee (2009) [3] , en el caso del muestreo continuo se realizó la volatilidad si asumimos que el contrato comienza en el momento, es determinista y es arbitrario (determinista o un proceso estocástico) pero independiente del movimiento del precio, es decir, no hay correlación entre y , y denota por la fórmula de Black-Scholes para la opción de compra europea escrita en con el precio de ejercicio en el momento con fecha de caducidad , luego por la auxilaridad de la opción de compra elegida para estar en el dinero, es decir , la huelga de volatilidad puede ser aproximado por la función
que es el resultado de aplicar la serie de Taylor en las partes de distribución normal de la fórmula de Black-Scholes .
Fijación de precios analíticos en el swap de volatilidad con muestreo discreto bajo una tasa de interés libre de riesgo dependiente del tiempo y una volatilidad constante
A pesar de la simplicidad de la fórmula de ejercicio de volatilidad que se muestra arriba, se puede ver que no se aplica al modelo donde la volatilidad y el movimiento de su precio spot correspondiente están correlacionados, como el modelo Heston que es más utilizado debido a su consistencia. con el mercado. Además, la volatilidad realizada solo se observa discretamente en el tiempo, lo que hace que la suposición continua no sea una buena medida en la práctica.
Al tener en cuenta ambas cuestiones, Rujivan y Rakwongwan (2021) [4] muestran que en el caso de muestreo discreto con modelo arbitrario de, incluido el permiso de correlacionarse con el proceso de precios, si definimos
y los factores ponderados
por , junto con la aplicación de las propiedades de las variables aleatorias chi-cuadrado no central , la fórmula de fijación de precios cerrada para la huelga de volatilidad justa se puede derivar mediante la siguiente función ponderada:
,
dónde
- denota una función de Laguerre con parámetro y orden fraccionario y
- es la función gamma .
Ver también
Referencias
- ^ a b Derman, Emanuel; Dmeterfi, Kresimir; Kamal, Michael; Zou, Joseph. "Más de lo que nunca quiso saber acerca de los intercambios de volatilidad" (PDF) . Notas de investigación de estrategias cuantitativas . Goldman Sachs . Consultado el 16 de diciembre de 2019 .
- ^ Barndorff-Nielsen, Ole E .; Shephard, Neil (mayo de 2002). "Análisis econométrico de la volatilidad realizada y su uso en la estimación de modelos de volatilidad estocástica". Revista de la Sociedad Real de Estadística, Serie B . 64 (2): 253–280. doi : 10.1111 / 1467-9868.00336 .
- ^ a b Carr, Peter; Lee, Roger (5 de diciembre de 2009). "Derivados de volatilidad". Revisión anual de economía financiera . 1 (1): 319-339. doi : 10.1146 / annurev.financial.050808.114304 .
- ^ Rujivan, Sanae; Rakwongwan, Udomsak (1 de septiembre de 2021). "Fijación de precios analíticos en swaps de volatilidad y opciones de volatilidad con muestreo discreto: derivados de volatilidad de pago no lineal" . Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 100 : 105849. doi : 10.1016 / j.cnsns.2021.105849 .
enlaces externos
- Juegos de volatilidad preempaquetados