En la rama de las matemáticas llamada teoría de los nudos , la conjetura del volumen es el siguiente problema abierto que relaciona los invariantes cuánticos de los nudos con la geometría hiperbólica de los complementos de los nudos .
Dejemos que O denote el nudo . Para cualquier nudo K deje ser invariante de Kashaev de ; este invariante coincide con la siguiente evaluación de la- Polinomio de Jones coloreado de :
( 1 )
Entonces la conjetura del volumen establece que
( 2 )
donde vol ( K ) denota el volumen hiperbólico del complemento de K en la 3-esfera .
Observación de Kashaev
Rinat Kashaev ( 1997 ) observó que el comportamiento asintótico de un cierto estado suma de nudos da el volumen hiperbólico del complemento de nudos y demostró que es cierto para los nudos , , y . Conjeturó que para los nudos hiperbólicos generales se mantendría la fórmula (2). Su invariante por un nudose basa en la teoría de los dilogaritmos cuánticos en el-ésima raíz de la unidad, .
Invariante Jones de color
Murakami y Murakami (2001) habían señalado en primer lugar que el invariante de Kashaev está relacionado con el polinomio de Jones coloreado al reemplazar q con la raíz 2N de la unidad, es decir,. Utilizaron una matriz R como la transformada discreta de Fourier para la equivalencia de estos dos valores.
La conjetura del volumen es importante para la teoría de los nudos . En la sección 5 de este trabajo afirman que:
- Suponiendo la conjetura del volumen, cada nudo que es diferente del nudo trivial tiene al menos un invariante de Vassiliev (tipo finito) diferente .
Relación con la teoría de Chern-Simons
Usando la complexificación, Murakami et al. (2002) reescribió la fórmula (1) en
( 3 )
dónde se llama invariante de Chern-Simons . Demostraron que existe una relación clara entre el polinomio coloreado complejo de Jones y la teoría de Chern-Simons desde un punto de vista matemático.
Referencias
- Kashaev, Rinat M. (1997), "El volumen hiperbólico de nudos del dilogaritmo cuántico", Letters in Mathematical Physics , 39 (3): 269-275, arXiv : q-alg / 9601025 , doi : 10.1023 / A: 1007364912784.
- Murakami, Hitoshi; Murakami, Jun (2001), "Los polinomios de Jones coloreados y el volumen simple de un nudo", Acta Mathematica , 186 (1): 85-104, arXiv : math / 9905075 , doi : 10.1007 / BF02392716.
- Murakami, Hitoshi; Murakami, Jun; Okamoto, Miyuki; Takata, Toshie; Yokota, Yoshiyuki (2002), "La conjetura de Kashaev y los invariantes de nudos y enlaces de Chern-Simons", Experimental Mathematics , 11 (1): 427–435, arXiv : math / 0203119 , doi : 10.1080 / 10586458.2002.10504485.
- Gukov, Sergei (2005), "Gravedad cuántica tridimensional, teoría de Chern-Simons y el polinomio A", Commun. Matemáticas. Phys. , 255 (1): 557–629, arXiv : hep-th / 0306165 , Bibcode : 2005CMaPh.255..577G , doi : 10.1007 / s00220-005-1312-y.