En estadística direccional , la distribución de von Mises-Fisher (llamada así por Richard von Mises y Ronald Fisher ), es una distribución de probabilidad en el- esfera en. Sila distribución se reduce a la distribución de von Mises en el círculo .
Definición
La función de densidad de probabilidad de la distribución de von Mises-Fisher para el vector unitario p -dimensional aleatorio es dado por:
dónde y la constante de normalización es igual a
dónde denota la función de Bessel modificada del primer tipo en orden. Si, la constante de normalización se reduce a
Los parametros y se denominan dirección media y parámetro de concentración , respectivamente. Cuanto mayor sea el valor de, cuanto mayor sea la concentración de la distribución alrededor de la dirección media . La distribución es unimodal para, y es uniforme en la esfera para .
La distribución de von Mises-Fisher para también se denomina distribución de Fisher . [1] [2] Se utilizó por primera vez para modelar la interacción de dipolos eléctricos en un campo eléctrico . [3] Otras aplicaciones se encuentran en geología , bioinformática y minería de textos .
Relación con la distribución normal
Partiendo de una distribución normal
la distribución de von Mises-Fisher se obtiene expandiendo
usando el hecho de que y son vectores unitarios, y recalculan la constante de normalización integrando sobre la esfera de la unidad.
Estimación de parámetros
Una serie de N mediciones independientesse extraen de una distribución de von Mises-Fisher. Definir
Luego [3] las estimaciones de máxima verosimilitud de y están dados por la estadística suficiente
como
y
Por lo tanto es la solución a
Una simple aproximación a es (Sra, 2011)
pero se puede obtener una medida más precisa iterando el método de Newton unas cuantas veces
Para N ≥ 25, el error estándar esférico estimado de la dirección media muestral se puede calcular como [4]
dónde
Entonces es posible aproximar un cono de confianza sobre con ángulo semi-vertical
- dónde
Por ejemplo, para un cono de confianza del 95%, y por lo tanto
Generalizaciones
La matriz de distribución de von Mises-Fisher tiene la densidad
apoyado en el colector Stiefel de p-marcos ortonormales , dónde es un arbitrario matriz real. [5] [6]
Ver también
- Distribución de Kent , una distribución relacionada en la esfera unitaria bidimensional
- Distribución de von Mises , distribución de von Mises-Fisher donde p = 2, el círculo unitario unidimensional
- Distribución bivariada de von Mises
- Estadísticas direccionales
Referencias
- ^ Fisher, RA (1953). "Dispersión sobre una esfera". Proc. Roy. Soc. Lond. Una . 217 (1130): 295-305. Código Bibliográfico : 1953RSPSA.217..295F . doi : 10.1098 / rspa.1953.0064 . S2CID 123166853 .
- ^ Watson, GS (1980). "Distribuciones en el círculo y en la esfera". J. Appl. Probab . 19 : 265–280. doi : 10.2307 / 3213566 . JSTOR 3213566 .
- ^ a b Mardia, Kanti ; Jupp, PE (1999). Estadísticas direccionales . John Wiley & Sons Ltd. ISBN 978-0-471-95333-3.
- ^ Embleton, NI Fisher, T. Lewis, BJJ (1993). Análisis estadístico de datos esféricos (1ª ed. Pbk.). Cambridge: Cambridge University Press. págs. 115-116 . ISBN 0-521-45699-1.
- ^ Jupp (1979). "Estimadores de máxima verosimilitud para las distribuciones de matriz de von Mises-Fisher y Bingham" . The Annals of Statistics . 7 (3): 599–606. doi : 10.1214 / aos / 1176344681 .
- ^ Downs (1972). "Estadísticas de orientación". Biometrika . 59 (3): 665–676. doi : 10.1093 / biomet / 59.3.665 .
Otras lecturas
- Dhillon, I., Sra, S. (2003) "Modelado de datos usando distribuciones direccionales". Tech. rep., Universidad de Texas, Austin.
- Banerjee, A., Dhillon, IS, Ghosh, J. y Sra, S. (2005). "Agrupación en la unidad de hiperesfera utilizando distribuciones de von Mises-Fisher". Journal of Machine Learning Research, 6 (septiembre), 1345-1382.
- Sra, S. (2011). "Una breve nota sobre la aproximación de parámetros para distribuciones de von Mises-Fisher: y una implementación rápida de I_s (x)". Estadística computacional . 27 : 177-190. CiteSeerX 10.1.1.186.1887 . doi : 10.1007 / s00180-011-0232-x . S2CID 3654195 .