Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)

Para conjuntos delimitados en general, consulte conjunto delimitado .

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un conjunto en un espacio vectorial topológico se llama acotado o acotado de von Neumann , si cada vecindad del vector cero se puede inflar para incluir el conjunto. Un conjunto que no está acotado se llama ilimitado .

Los conjuntos delimitados son una forma natural de definir topologías polares localmente convexas en los espacios vectoriales en un par dual , ya que el polar de un conjunto delimitado es un conjunto absolutamente convexo y absorbente . El concepto fue introducido por primera vez por John von Neumann y Andrey Kolmogorov en 1935.

Definición

Notación : para cualquier conjunto y sea escalar${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s,}$${\displaystyle sA:=\{sa:a\in A\}.}$

Definición : Dado un espacio topológico vector (TVS) sobre un campo de un subconjunto de que se llama von Neumann limitado o simplemente delimitada en si alguna de las siguientes condiciones equivalentes se cumple:${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

1. para cada vecindad del origen existe un real tal que para todos los escalares satisfactorio ; ^[1]${\displaystyle V}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle B\subseteq sV}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |s|\geq r}$
   • Esta fue la definición introducida por John von Neumann en 1935. ^[1]
2. ${\displaystyle B}$es absorbido por todos los barrios del origen; ^[2]
3. por cada vecindad del origen existe un escalar tal que ;${\displaystyle V}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B\subseteq sV}$
4. para cada vecindad del origen existe un real tal que para todos los escalares satisfactorio ; ^[1]${\displaystyle V}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle sB\subseteq V}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |s|\leq r}$
5. Cualquiera de las 4 condiciones anteriores pero con la palabra "vecindario" reemplazada por cualquiera de las siguientes: " vecindario equilibrado ", "vecindario equilibrado abierto", "vecindario equilibrado cerrado", "vecindario abierto", "vecindario cerrado";
   • Por ejemplo, la Condición 2 puede convertirse en: está acotada si y solo si es absorbida por cada vecindad equilibrada del origen. ^[1]${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$
6. para cada secuencia de escalares que converge a 0 y cada secuencia de la secuencia converge a 0 pulg ; ^[1]${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \left(s_{i}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$
   • Esta fue la definición de "acotado" que utilizó Andrey Kolmogorov en 1934, que es la misma que la definición introducida por Stanisław Mazur y Władysław Orlicz en 1933 para televisores metrizables. Kolmogorov usó esta definición para probar que un TVS es seminormable si y solo si tiene una vecindad convexa acotada de 0. ^[1]
7. para cada secuencia en la secuencia en ; ^[3]${\displaystyle \left(b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \left({\frac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$${\displaystyle X}$
8. cada subconjunto contable de está acotado (de acuerdo con cualquier condición definitoria que no sea esta). ^[1]${\displaystyle B}$

mientras que si es un espacio localmente convexo cuya topología está definida por una familia de seminormas continuos , entonces podemos agregar a esta lista:${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

9. ${\displaystyle p(B)}$está limitado para todos ^[1]${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$
10. existe una secuencia de escalares distintos de cero, de modo que para cada secuencia de la secuencia está delimitada (de acuerdo con cualquier condición definitoria distinta de esta). ^[1]${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \left(s_{i}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$
11. porque todo está acotado (de acuerdo con cualquier condición definitoria que no sea esta) en el espacio semi normado${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p).}$

mientras que si es un espacio seminorizado con seminorma (tenga en cuenta que todo espacio normado es un espacio seminormado y toda norma es un seminario), entonces podemos agregar a esta lista:${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$

12. Existe un real que para todos ^[1]${\displaystyle r>0}$${\displaystyle p(b)\leq r}$${\displaystyle b\in B.}$

mientras que si es un subespacio vectorial de TVS , podemos agregar a esta lista:${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$

13. ${\displaystyle B}$está contenido en el cierre de ^[1]${\displaystyle \{0\}.}$

Un subconjunto que no está acotado se llama ilimitado .

Bornología y sistemas fundamentales de conjuntos acotados

La colección de todos los conjuntos acotados sobre un espacio vectorial topológico se llama el bornology von Neumann o la ( canónico ) bornology de .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Un sistema base o fundamental de conjuntos acotados de es un conjunto de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de es un subconjunto de algunos ^[1] El conjunto de todos los subconjuntos acotados de trivialmente forma un sistema fundamental de conjuntos acotados de${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Ejemplos

En cualquier TVS localmente convexo , el conjunto de discos cerrados y acotados es la base del conjunto acotado. ^[1]

Propiedades de estabilidad

Sea cualquier espacio vectorial topológico (TVS) (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo).${\displaystyle X}$

• En cualquier TVS, las uniones finitas, las sumas finitas, los múltiplos escalares, los subconjuntos, los cierres, los interiores y los cascos equilibrados de los conjuntos acotados están nuevamente acotados. ^[1]
• En cualquier TVS localmente convexo , el casco convexo de un conjunto acotado está nuevamente acotado. Esto puede no ser cierto si el espacio no es convexo localmente. ^[1]
• La imagen de un conjunto acotado bajo un mapa lineal continuo es un subconjunto acotado del codominio. ^[1]
• Un subconjunto de un producto arbitrario de TVS está acotado si y solo si todas sus proyecciones están acotadas.
• If es un subespacio vectorial de un TVS y if then está acotado en si y solo si está acotado en ^[1]${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq M,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X.}$

Ejemplos y condiciones suficientes

• En cualquier espacio vectorial topológico (TVS), los conjuntos finitos están limitados. ^[1]
• Cada subconjunto totalmente acotado de un TVS está acotado. ^[1]
• Todo conjunto relativamente compacto en un espacio vectorial topológico está acotado. Si el espacio está equipado con la topología débil, lo contrario también es cierto.
• El conjunto de puntos de una secuencia de Cauchy está acotado, no es necesario que el conjunto de puntos de una red de Cauchy esté acotado.
• En cualquier TVS, cada subconjunto del cierre de está acotado.${\displaystyle \{0\}}$

No ejemplos

• En cualquier TVS, cualquier subespacio vectorial que no esté contenido en el cierre de es ilimitado (es decir, no limitado).${\displaystyle \{0\}}$
• Existe un espacio de Fréchet que tiene un subconjunto delimitado y también un subespacio de vector denso tal que no está contenido en el cierre (in ) de ningún subconjunto delimitado de ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M.}$

Propiedades

Ver también: Espacio vectorial topológico § Propiedades

• Las uniones finitas, sumas finitas, cierres , interiores y cascos equilibrados de conjuntos delimitados están delimitados.
• The image of a bounded set under a continuous linear map is bounded.
• In a locally convex space, the convex envelope of a bounded set is bounded.
  • Without local convexity this is false, as the Lp spaces for ${\displaystyle 0<p<1}$ have no nontrivial open convex subsets.
• A locally convex topological vector space has a bounded neighborhood of zero if and only if its topology can be defined by a single seminorm.
• The polar of a bounded set is an absolutely convex and absorbing set.

Mackey's countability condition (^[1]) — Suppose that ${\displaystyle X}$ is a metrizable locally convex TVS and that ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a countable sequence of bounded subsets of ${\displaystyle X.}$ Then there exists a bounded subset ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle X}$ and a sequence ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ of positive real numbers such that ${\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}$ for all ${\displaystyle i.}$

Generalization

The definition of bounded sets can be generalized to topological modules. A subset ${\displaystyle A}$ of a topological module ${\displaystyle M}$ over a topological ring ${\displaystyle R}$ is bounded if for any neighborhood ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle 0_{M}}$ there exists a neighborhood ${\displaystyle w}$ of ${\displaystyle 0_{R}}$ such that ${\displaystyle wA\subseteq B.}$

See also

• Bornivorous set – A set that can absorb any bounded subset
• Bounded function – Mathematical function
• Bounded operator – A linear operator that sends bounded subsets to bounded subsets
• Bounding point – Mathematical concept related to subsets of vector spaces
• Compact space – Topological notions of all points being "close"
• Local boundedness
• Locally convex topological vector space – A vector space with a topology defined by convex open sets
• Totally bounded space
• Topological vector space – Vector space with a notion of nearness

References

1. Narici & Beckenstein 2011, pp. 156-175.
2. Schaefer 1970, p. 25.
3. Wilansky 2013, p. 47.
4. Wilansky 2013, p. 57.

Bibliography

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Lecture Notes in Mathematics. 639. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
• Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Conway, John (1990). A course in functional analysis. Graduate Texts in Mathematics. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Köthe, Gottfried (1969). Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53. Cambridge University Press. pp. 44–46.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
• Schaefer, H.H. (1970). Topological Vector Spaces. GTM. 3. Springer-Verlag. pp. 25–26. ISBN 0-387-05380-8.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.