En geometría , el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien , [1] llamado así por William Wallace , Farkas Bolyai y Paul Gerwien , es un teorema relacionado con las disecciones de polígonos . Responde a la pregunta de cuándo se puede formar un polígono a partir de otro cortándolo en un número finito de piezas y recomponiéndolas mediante traslaciones y rotaciones . El teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que esto se puede hacer si y solo si dos polígonos tienen la misma área .
Wallace ya había probado el mismo resultado en 1807.
Según otras fuentes, Bolyai y Gerwien habían probado independientemente el teorema en 1833 y 1835, respectivamente.
Formulación
Hay varias formas de formular este teorema. La versión más común utiliza el concepto de "equidecomposability" de polígonos: dos polígonos son equidecomposables si se pueden dividir en un número finito de triángulos que solo se diferencian por alguna isometría (de hecho, solo por una combinación de traslación y rotación). En este caso, el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que dos polígonos son equidomponibles si y solo si tienen la misma área.
Otra formulación es en términos de congruencia de tijeras : dos polígonos son congruentes de tijera si pueden descomponerse en un número finito de polígonos que sean congruentes por parejas . La congruencia de tijeras es una relación de equivalencia . En este caso, el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que las clases de equivalencia de esta relación contienen precisamente aquellos polígonos que tienen la misma área.
Boceto de prueba
El teorema se puede entender en unos pocos pasos. En primer lugar, cada polígono se puede cortar en triángulos. Hay algunos métodos para esto. Para los polígonos convexos, uno puede cortar cada vértice por turno, mientras que para los polígonos cóncavos esto requiere más cuidado. Un enfoque general que también funciona para polígonos no simples sería elegir una línea que no sea paralela a ninguno de los lados del polígono y dibujar una línea paralela a esta a través de cada uno de los vértices del polígono. Esto dividirá el polígono en triángulos y trapezoides , que a su vez se pueden convertir en triángulos.
En segundo lugar, cada uno de estos triángulos se puede transformar en un triángulo rectángulo y luego en un rectángulo con un lado de longitud 1. Alternativamente, un triángulo se puede transformar en uno de esos rectángulos convirtiéndolo primero en un paralelogramo y luego convirtiéndolo en tal rectángulo. Al hacer esto para cada triángulo, el polígono se puede descomponer en un rectángulo con una unidad de ancho y alto igual a su área.
Dado que esto se puede hacer para dos polígonos cualesquiera, una "subdivisión común" del rectángulo en el medio demuestra el teorema. Es decir, cortar el rectángulo común (de tamaño 1 por su área) según ambos polígonos será un intermedio entre ambos polígonos.
Notas sobre la prueba
En primer lugar, esta prueba requiere un polígono intermedio. En la formulación del teorema usando tijeras-congruencia, el uso de este intermedio puede reformularse usando el hecho de que las tijeras-congruencias son transitivas. Dado que tanto el primer polígono como el segundo polígono son congruentes en tijeras con el intermedio, son congruentes en tijeras entre sí.
La demostración de este teorema es constructiva y no requiere el axioma de elección , aunque algunos otros problemas de disección (por ejemplo, el problema de cuadratura del círculo de Tarski ) sí lo necesitan. En este caso, la descomposición y el reensamblaje se pueden realizar realmente "físicamente": las piezas pueden, en teoría, cortarse con tijeras de papel y reensamblarse a mano.
No obstante, el número de piezas necesarias para componer un polígono a partir de otro utilizando este procedimiento, generalmente supera con creces el número mínimo de polígonos necesarios. [2]
Grado de descomponibilidad
Considere dos polígonos P y Q equidompibles . El número mínimo n de piezas requeridas para componer un polígono Q de otro polígono P se denota por σ ( P , Q ).
Dependiendo de los polígonos, es posible estimar los límites superior e inferior para σ ( P , Q ). Por ejemplo, Alfred Tarski demostró que si P es convexo y los diámetros de P y Q están dados respectivamente por d ( P ) yd ( Q ), entonces [3]
Si P x es un rectángulo de lados a · x y a · (1 / x ) y Q es un rectángulo de tamaño a , entonces P x y Q son equidecomponibles para cada x > 0. Un límite superior para σ ( P x , Q ) viene dado por [3]
Dado que σ ( P x , Q ) = σ ( P ( 1 / x ) , Q ), también tenemos que
Generalizaciones
El enunciado análogo sobre los poliedros en tres dimensiones, conocido como tercer problema de Hilbert , es falso, como lo demostró Max Dehn en 1900. El problema también se ha considerado en algunas geometrías no euclidianas . En geometría bidimensional hiperbólica y esférica, el teorema es válido. Sin embargo, el problema sigue abierto para estas geometrías en tres dimensiones.
Referencias
- ↑ Gardner, RJ (1 de febrero de 1985). "Un problema de Sallee en cuerpos convexos equidecomponibles" . Actas de la American Mathematical Society . 94 (2): 329–329. doi : 10.1090 / S0002-9939-1985-0784187-9 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2045399 .
- ^ http://mathworld.wolfram.com/Dissection.html
- ^ a b McFarland, Andrew; McFarland, Joanna; Smith, James T. (2014). Alfred Tarski . Birkhäuser, Nueva York, NY. págs. 77–91. doi : 10.1007 / 978-1-4939-1474-6_5 . ISBN 9781493914739.
enlaces externos
- Teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien
- Congruencia de tijeras : demostración interactiva del teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien.
- Video que muestra un boceto de la prueba.
- Un ejemplo del teorema de Bolyai-Gerwien por Sándor Kabai, Ferenc Holló Szabó y Lajos Szilassi, el Proyecto de demostraciones de Wolfram .
- Una presentación sobre el tercer problema de Hilbert en College of Staten Island CUNY - Abhijit Champanerkar.
- Disección óptima de un cuadrado unitario en un rectángulo