En matemáticas , la variedad Weeks , a veces denominada variedad Fomenko-Matveev-Weeks , es una variedad triple hiperbólica cerrada obtenida mediante cirugías de Dehn (5, 2) y (5, 1) en el enlace Whitehead . Tiene un volumen aproximadamente igual a 0.942707… ( OEIS : A126774 ) y David Gabai , Robert Meyerhoff y Peter Milley ( 2009 ) demostraron que tiene el volumen más pequeño de cualquier colector 3 hiperbólico orientable cerrado . La variedad fue descubierta de forma independiente por Jeffrey Weeks ( 1985 ), así como por Sergei V. Matveev yAnatoly T. Fomenko ( 1988 ).
Volumen
Dado que la variedad Weeks es una variedad aritmética hiperbólica de 3 , su volumen se puede calcular usando sus datos aritméticos y una fórmula debida a Armand Borel :
dónde es el campo numérico generado por satisfactorio y es la función zeta de Dedekind de. [1] Alternativamente,
dónde es el polilogaritmo yes el valor absoluto de la raíz compleja (con parte imaginaria positiva) del cúbico.
Colectores relacionados
El 3-múltiple hiperbólico cúspide obtenido por (5, 1) cirugía de Dehn en el enlace de Whitehead es el llamado múltiple hermano, o hermana, del complemento de nudos en forma de ocho . El complemento del nudo en forma de ocho y su hermano tienen el volumen más pequeño de cualquier colector 3 hiperbólico cúspide orientable. Por tanto, la variedad Weeks puede obtenerse mediante cirugía de Dehn hiperbólica en una de las dos variedades 3 hiperbólicas cúspides orientables más pequeñas.
Ver también
- Colector Meyerhoff - segundo volumen pequeño
Referencias
- Agol, Ian ; Storm, Peter A .; Thurston, William P. (2007), "Límites inferiores en volúmenes de variedades hiperbólicas de Haken 3 (con un apéndice de Nathan Dunfield)", Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense , 20 (4): 1053-1077, arXiv : matemáticas. DG / 0506338 , Bibcode : 2007JAMS ... 20.1053A , doi : 10.1090 / S0894-0347-07-00564-4 , MR 2328715.
- Chinburg, Ted; Friedman, Eduardo; Jones, Kerry N .; Reid, Alan W. (2001), "La aritmética hiperbólica 3-múltiple de menor volumen" , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV , 30 (1): 1–40, MR 1882023
- Gabai, David ; Meyerhoff, Robert; Milley, Peter (2009), "Volumen mínimo cúspide hiperbólico de tres variedades", Journal of the American Mathematical Society , 22 (4): 1157-1215, arXiv : 0705.4325 , Bibcode : 2009JAMS ... 22.1157G , doi : 10.1090 / S0894-0347-09-00639-0 , MR 2525782
- Matveev, Sergei V .; Fomenko, Aanatoly T. (1988), "Superficies isoenergéticas de sistemas hamiltonianos, la enumeración de variedades tridimensionales en orden de crecimiento de su complejidad y el cálculo de los volúmenes de variedades hiperbólicas cerradas", Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo . Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 43 (1): 5–22, Bibcode : 1988RuMaS..43 .... 3M , doi : 10.1070 / RM1988v043n01ABEH001554 , MR 0937017
- Weeks, Jeffrey (1985), Estructuras hiperbólicas en 3 variedades , Ph.D. tesis, Universidad de Princeton