En geometría algebraica , una cohomología de Weil o teoría de cohomología de Weil es una cohomología que satisface ciertos axiomas relacionados con la interacción de ciclos algebraicos y grupos de cohomología. El nombre es en honor a André Weil . Cualquier teoría de cohomología de Weil se basa únicamente en la categoría de motivos de Chow , pero la categoría de motivos de Chow en sí misma no es una teoría de cohomología de Weil, ya que no es una categoría abeliana .
Definición
Fije un campo base k de característica arbitraria y un "campo de coeficiente" K de característica cero. Una teoría de la cohomología de Weil es un functor contravariante
Satisfaciendo los axiomas a continuación. Para cada variedad algebraica proyectiva suave X de dimensión n sobre k , entonces el K- álgebra graduada
se requiere para satisfacer lo siguiente:
- es un K - espacio vectorial de dimensión finita para cada entero i .
- para cada i <0 o i > 2 n .
- es isomorfo a K (el llamado mapa de orientación).
- Dualidad de Poincaré : hay un maridaje perfecto
- Hay un isomorfismo canónico de Künneth
- Para cada entero r , hay un mapa de ciclo definido en el grupode ciclos algebraicos de codimensión r en X ,
- satisfaciendo ciertas condiciones de compatibilidad con respecto a la funcionalidad de H y el isomorfismo de Künneth. Si X es un punto, el mapa ciclo se requiere que sea la inclusión Z ⊂ K .
- Axioma de Lefschetz débil : Para cualquier sección suave del hiperplano j : W ⊂ X (es decir, W = X ∩ H , H algún hiperplano en el espacio proyectivo ambiental), los mapas
- son isomorfismos para e inyecciones para
- Axioma duro de Lefschetz : Sea W una sección de hiperplano yser su imagen en el mapa de clases de ciclo. El operador de Lefschetz se define como
- donde el punto denota el producto en el álgebra Luego
- es un isomorfismo para i = 1, ..., n .
Ejemplos de
Hay cuatro teorías de cohomología clásicas de Weil:
- cohomología singular (= Betti) , considerando las variedades sobre C como espacios topológicos usando su topología analítica (ver GAGA ),
- cohomología de Rham sobre un campo base de característica cero: sobre C definido por formas diferenciales y en general por medio del complejo de diferenciales de Kähler (ver cohomología algebraica de Rham ),
- -cohomología ádica para variedades sobre campos de características diferentes de,
Las demostraciones de los axiomas de la cohomología de Betti y la cohomología de De Rham son comparativamente sencillas y clásicas. Para-cohomología ádica, por ejemplo, la mayoría de las propiedades anteriores son teoremas profundos.
La desaparición de los grupos de cohomología de Betti que superan el doble de la dimensión se desprende del hecho de que una variedad (compleja) de dimensión compleja n tiene una dimensión real 2 n , por lo que estos grupos de cohomología superior desaparecen (por ejemplo, comparándolos con la (co) homología simplicial ) .
El mapa del ciclo de De Rham también tiene una explicación realista: dada una subvariedad Y de codimensión compleja r en una variedad completa X de dimensión compleja n , la dimensión real de Y es 2 n −2 r , por lo que se puede integrar cualquier diferencial (2 n −2 r ) -forma a lo largo de Y para producir un número complejo. Esto induce un funcional lineal. Por dualidad de Poincaré, dar tal funcional equivale a dar un elemento de; ese elemento es la imagen de Y debajo del mapa del ciclo.
Referencias
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: Wiley, doi : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 (contiene pruebas de todos los axiomas de la cohomología de Betti y de-Rham)
- Milne, James S. (1980), Étale cohomology , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7(ídem para cohomología l -ádica)
- Kleiman, SL (1968), "Los ciclos algebraicos y las conjeturas de Weil", Dix exposés sur la cohomologie des schémas , Amsterdam: North-Holland, págs. 359–386, MR 0292838