En matemáticas , el proceso de Wiener es un proceso estocástico de tiempo continuo de valor real llamado en honor al matemático estadounidense Norbert Wiener por sus investigaciones sobre las propiedades matemáticas del movimiento browniano unidimensional. [1] A menudo también se le llama movimiento browniano debido a su conexión histórica con el proceso físico del mismo nombre observado originalmente por el botánico escocés Robert Brown . Es uno de los procesos de Lévy más conocidos ( procesos estocásticos de càdlàg con incrementos independientes estacionarios ) y ocurre con frecuencia en forma pura y matemáticas aplicadas , economía , finanzas cuantitativas , biología evolutiva y física .
El proceso de Wiener juega un papel importante tanto en matemáticas puras como aplicadas. En matemáticas puras, el proceso de Wiener dio lugar al estudio de las martingalas de tiempo continuo . Es un proceso clave en términos del cual se pueden describir procesos estocásticos más complicados. Como tal, juega un papel vital en el cálculo estocástico , los procesos de difusión e incluso la teoría del potencial . Es el proceso impulsor de la evolución de Schramm-Loewner . En matemáticas aplicadas , el proceso de Wiener se utiliza para representar la integral de un proceso gaussiano de ruido blanco y, por lo tanto, es útil como modelo de ruido en ingeniería electrónica (ver ruido browniano ), errores de instrumentos en la teoría de filtrado y perturbaciones en la teoría de control .
El proceso de Wiener tiene aplicaciones en todas las ciencias matemáticas. En física se utiliza para estudiar el movimiento browniano , la difusión de partículas diminutas suspendidas en un fluido y otros tipos de difusión a través de las ecuaciones de Fokker-Planck y Langevin . También forma la base para la rigurosa formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica (mediante la fórmula de Feynman-Kac , una solución a la ecuación de Schrödinger se puede representar en términos del proceso de Wiener) y el estudio de la inflación eterna en cosmología física . También es prominente en la teoría matemática de las finanzas , en particular el modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes .
Caracterizaciones del proceso de Wiener
El proceso de Wiener se caracteriza por las siguientes propiedades: [2]
- tiene incrementos independientes : para cada los incrementos futuros son independientes de los valores pasados ,
- tiene incrementos gaussianos: se distribuye normalmente con media y varianza ,
- tiene caminos continuos: es continuo en .
Que el proceso tenga incrementos independientes significa que si 0 ≤ s 1 < t 1 ≤ s 2 < t 2 entonces W t 1 - W s 1 y W t 2 - W s 2 son variables aleatorias independientes, y la condición similar se cumple para n incrementos.
Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la denominada caracterización de Lévy que dice que el proceso de Wiener es casi con seguridad una martingala continua con W 0 = 0 y variación cuadrática [ W t , W t ] = t (lo que significa que W t 2 - t es también una martingala).
Una tercera caracterización es que el proceso de Wiener tiene una representación espectral como una serie sinusoidal cuyos coeficientes son N (0, 1) variables aleatorias independientes . Esta representación se puede obtener mediante el teorema de Karhunen-Loève .
Otra caracterización de un proceso de Wiener es la integral definida (desde el tiempo cero al tiempo t ) de un proceso gaussiano correlacionado delta ("blanco") de media cero, variación unitaria . [ cita requerida ]
El proceso de Wiener se puede construir como el límite de escala de una caminata aleatoria u otros procesos estocásticos de tiempo discreto con incrementos independientes estacionarios. Esto se conoce como teorema de Donsker . Al igual que la caminata aleatoria, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo que significa que casi con seguridad regresa a cualquier vecindario fijo del origen infinitamente a menudo) mientras que no es recurrente en las dimensiones tres y superiores. [3] A diferencia del paseo aleatorio, es invariante en escala , lo que significa que
es un proceso de Wiener para cualquier constante α distinta de cero. La medida de Wiener es la ley de probabilidad en el espacio de funciones continuas g , con g (0) = 0, inducida por el proceso de Wiener. Una integral basada en la medida de Wiener se puede llamar integral de Wiener .
Proceso de salchicha como límite de caminata aleatoria
Dejar sean variables aleatorias con media 0 y varianza 1. Para cada n , defina un proceso estocástico de tiempo continuo
Esta es una función de paso aleatorio. Incrementos de son independientes porque el son independientes. Para grandes n , esta cerca de por el teorema del límite central. El teorema de Donsker afirma que como, se acerca a un proceso de Wiener, que explica la ubicuidad del movimiento browniano. [4]
Propiedades de un proceso de Wiener unidimensional
Propiedades básicas
La función de densidad de probabilidad incondicional , que sigue una distribución normal con media = 0 y varianza = t , en un tiempo fijo t :
La expectativa es cero:
La varianza , usando la fórmula computacional, es t :
Estos resultados se derivan inmediatamente de la definición de que los incrementos tienen una distribución normal , centrada en cero. Por lo tanto
Covarianza y correlación
La covarianza y correlación (donde):
Estos resultados se derivan de la definición de que los incrementos que no se superponen son independientes, de los cuales solo se utiliza la propiedad de que no están correlacionados. Suponer que.
Sustituyendo
llegamos a:
Desde y son independientes,
Por lo tanto
Un corolario útil para la simulación es que podemos escribir, para t 1 < t 2 :
donde Z es una variable normal estándar independiente.
Representación de Wiener
Wiener (1923) también dio una representación de un camino browniano en términos de una serie aleatoria de Fourier . Si son variables gaussianas independientes con media cero y varianza uno, entonces
y
representar un movimiento browniano en . El proceso escalado
es un movimiento browniano en (cf. teorema de Karhunen-Loève ).
Corriendo máximo
La distribución conjunta del máximo corriente
y W t es
Para obtener la distribución incondicional de , integre sobre −∞ < w ≤ m :
la función de densidad de probabilidad de una distribución semi-normal . La expectativa [5] es
Si en el momento el proceso de Wiener tiene un valor conocido , es posible calcular la distribución de probabilidad condicional del máximo en el intervalo (cf. Distribución de probabilidad de puntos extremos de un proceso estocástico de Wiener ). La función de distribución de probabilidad acumulada del valor máximo, condicionada por el valor conocido, es:
Auto-semejanza
Escala browniana
Para cada c > 0 el proceso es otro proceso de Wiener.
Inversión del tiempo
El proceso para 0 ≤ t ≤ 1 se distribuye como W t para 0 ≤ t ≤ 1.
Inversión de tiempo
El proceso es otro proceso de Wiener.
Una clase de martingalas brownianas
Si un polinomio p ( x , t ) satisface la PDE
luego el proceso estocástico
es una martingala .
Ejemplo: es una martingala, lo que muestra que la variación cuadrática de W en [0, t ] es igual a t . De ello se deduce que el tiempo esperado de la primera salida de W de (- c , c ) es igual ac 2 .
De manera más general, para cada polinomio p ( x , t ), el siguiente proceso estocástico es una martingala:
donde a es el polinomio
Ejemplo: el proceso
es una martingala, lo que muestra que la variación cuadrática de la martingala en [0, t ] es igual a
Acerca de las funciones p ( xa , t ) más generales que los polinomios, ver martingalas locales .
Algunas propiedades de las rutas de muestra
El conjunto de todas las funciones w con estas propiedades es de la medida Wiener completa. Es decir, una ruta (función de muestra) del proceso de Wiener tiene todas estas propiedades casi con seguridad.
Propiedades cualitativas
- Para cada ε> 0, la función w toma valores (estrictamente) positivos y (estrictamente) negativos en (0, ε).
- La función w es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna parte (como la función de Weierstrass ).
- Los puntos del máximo local de la función w son un conjunto contable denso; los valores máximos son diferentes por pares; cada máximo local es agudo en el siguiente sentido: si w tiene un máximo local en t entonces
- Lo mismo ocurre con los mínimos locales.
- La función w no tiene puntos de incremento local, es decir, ningún t > 0 satisface lo siguiente para algunos ε en (0, t ): primero, w ( s ) ≤ w ( t ) para todos los s en ( t - ε, t ), y en segundo lugar, w ( s ) ≥ w ( t ) para todos los s en ( t , t + ε). (El aumento local es una condición más débil que la de que w aumenta en ( t - ε, t + ε).) Lo mismo es válido para la disminución local.
- La función w es de variación ilimitada en cada intervalo.
- La variación cuadrática de w sobre [0, t] es t.
- Los ceros de la función w son un conjunto perfecto denso en ninguna parte de medida de Lebesgue 0 y dimensión de Hausdorff 1/2 (por lo tanto, incontable).
Propiedades cuantitativas
Ley del logaritmo iterado
Módulo de continuidad
Módulo de continuidad local:
Módulo de continuidad global (Lévy):
Hora local
La imagen de la medida de Lebesgue en [0, t ] debajo del mapa w (la medida de avance ) tiene una densidad L t (·). Por lo tanto,
para una amplia clase de funciones f (a saber: todas las funciones continuas; todas las funciones integrables localmente; todas las funciones mensurables no negativas). La densidad L t es (más exactamente, puede y se elegirá que sea) continua. El número L t ( x ) se denomina hora local en x de w en [0, t ]. Es estrictamente positivo para todo x del intervalo ( a , b ) donde a y b son el menor y el mayor valor de w en [0, t ], respectivamente. (Para x fuera de este intervalo la hora local evidentemente se desvanece.) Trata como una función de dos variables x y t , el tiempo local es todavía continua. Tratada como una función de t (mientras que x es fija), la hora local es una función singular que corresponde a una medida no atómica en el conjunto de ceros de w .
Estas propiedades de continuidad son bastante no triviales. Tenga en cuenta que la hora local también se puede definir (como la densidad de la medida de avance) para una función suave. Entonces, sin embargo, la densidad es discontinua, a menos que la función dada sea monótona. En otras palabras, existe un conflicto entre el buen comportamiento de una función y el buen comportamiento de su hora local. En este sentido, la continuidad del tiempo local del proceso de Wiener es otra manifestación de la no suavidad de la trayectoria.
Tasa de información
La tasa de información del proceso de Wiener con respecto a la distancia de error al cuadrado, es decir, su función cuadrática de tasa-distorsión , viene dada por [6]
Por tanto, es imposible codificar utilizando un código binario de menos de bits y recupérelo con un error cuadrático medio esperado menor que. Por otro lado, para cualquier, existe lo suficientemente grande y un código binario de no más deelementos distintos tales que el error cuadrático medio esperado en la recuperación de este código es como máximo .
En muchos casos, es imposible codificar el proceso de Wiener sin muestrearlo primero. Cuando el proceso de Wiener se muestrea a intervalosantes de aplicar un código binario para representar estas muestras, la compensación óptima entre la tasa de código y error cuadrático medio esperado (al estimar el proceso de Wiener en tiempo continuo) sigue la representación paramétrica [7]
dónde y . En particular, es el error cuadrático medio asociado solo con la operación de muestreo (sin codificación).
Procesos relacionados
El proceso estocástico definido por
se denomina proceso de Wiener con deriva μ y varianza infinitesimal σ 2 . Estos procesos agotan los procesos continuos de Lévy [ aclaración necesaria ] .
A grandes rasgos, aparecen dos procesos aleatorios en el intervalo de tiempo [0, 1] al condicionar el proceso de Wiener a desaparecer en ambos extremos de [0,1]. Sin más condicionamientos, el proceso toma valores tanto positivos como negativos en [0, 1] y se denomina puente browniano . Condicionado también para permanecer positivo en (0, 1), el proceso se llama excursión browniana . [8] En ambos casos un tratamiento riguroso implica un procedimiento limitante, ya que la fórmula P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) / P ( B ) no se aplica cuando P ( B ) = 0.
Se puede escribir un movimiento browniano geométrico
Es un proceso estocástico que se utiliza para modelar procesos que nunca pueden tomar valores negativos, como el valor de las acciones.
El proceso estocástico
se distribuye como el proceso de Ornstein-Uhlenbeck con parámetros, , y .
El tiempo de alcanzar un solo punto x > 0 por el proceso de Wiener es una variable aleatoria con la distribución de Lévy . La familia de estas variables aleatorias (indexadas por todos los números positivos x ) es una modificación continua a la izquierda de un proceso de Lévy . La modificación continua a la derecha de este proceso viene dada por los tiempos de la primera salida de los intervalos cerrados [0, x ].
El tiempo local L = ( L x t ) x ∈ R , t ≥ 0 de un movimiento browniano describe el tiempo que el proceso pasa en el punto x . Formalmente
donde δ es la función delta de Dirac . El comportamiento de la hora local se caracteriza por los teoremas de Ray-Knight .
Martingalas brownianas
Sea A un evento relacionado con el proceso de Wiener (más formalmente: un conjunto, medible con respecto a la medida de Wiener, en el espacio de funciones), y X t la probabilidad condicional de A dado el proceso de Wiener en el intervalo de tiempo [0 , t ] (más formalmente: la medida de Wiener del conjunto de trayectorias cuya concatenación con la trayectoria parcial dada en [0, t ] pertenece a A ). Entonces el proceso X t es una martingala continua. Su propiedad de martingala se deriva inmediatamente de las definiciones, pero su continuidad es un hecho muy especial: un caso especial de un teorema general que establece que todas las martingalas brownianas son continuas. Una martingala browniana es, por definición, una martingala adaptada a la filtración browniana; y la filtración browniana es, por definición, la filtración generada por el proceso Wiener.
Movimiento browniano integrado
La integral de tiempo del proceso de Wiener
se llama movimiento browniano integrado o proceso de Wiener integrado . Surge en muchas aplicaciones y puede ser demostrado tener la distribución N (0, t 3 /3), [9] calculado utilizando el hecho de que la covarianza del proceso de Wiener es. [10]
Para el caso general del proceso definido por
Entonces para ,
De echo, es siempre una variable aleatoria normal de media cero. Esto permite la simulación de dado tomando
donde Z es una variable normal estándar y
El caso de corresponde a . Todos estos resultados pueden verse como consecuencias directas de la isometría de Itô . El proceso de Wiener integrado n veces es una variable normal de media cero con varianza. Esto viene dado por la fórmula de Cauchy para la integración repetida .
Cambio de tiempo
Cada martingala continua (comenzando en el origen) es un proceso de Wiener cambiado en el tiempo.
Ejemplo: 2 W t = V (4 t ) donde V es otro proceso de Wiener (diferente de W pero distribuido como W ).
Ejemplo. dónde y V es otro proceso de Wiener.
En general, si M es una martingala continua, entoncesdonde A ( t ) es la variación cuadrática de M en [0, t ], y V es un proceso de Wiener.
Corolario. (Ver también los teoremas de convergencia de la martingala de Doob ) Sea M t una martingala continua, y
Entonces solo son posibles los siguientes dos casos:
otros casos (como etc.) son de probabilidad 0.
Especialmente, una martingala continua no negativa tiene un límite finito (como t → ∞) casi con seguridad.
Todo lo que se indica (en esta subsección) para martingalas vale también para martingalas locales .
Cambio de medida
Una amplia clase de semimartingales continuos (especialmente, de procesos de difusión ) está relacionada con el proceso de Wiener mediante una combinación de cambio de tiempo y cambio de medida .
Usando este hecho, las propiedades cualitativas indicadas anteriormente para el proceso de Wiener se pueden generalizar a una amplia clase de semimartingalas continuas. [11] [12]
Proceso de Wiener de valor complejo
El proceso de Wiener de valores complejos puede definirse como un proceso aleatorio de valores complejos de la forma dónde y son procesos de Wiener independientes (valores reales). [13]
Auto-semejanza
Escala browniana, inversión de tiempo, inversión de tiempo: lo mismo que en el caso de valores reales.
Invarianza de rotación: para cada número complejo tal que el proceso es otro proceso de Wiener de valor complejo.
Cambio de tiempo
Si es una función completa, entonces el proceso es un proceso de Wiener de valor complejo que cambia en el tiempo.
Ejemplo: dónde
y es otro proceso de Wiener de valor complejo.
En contraste con el caso de valor real, una martingala de valor complejo generalmente no es un proceso de Wiener de valor complejo cambiado en el tiempo. Por ejemplo, la martingala no está aqui y son procesos de Wiener independientes, como antes).
Ver también
Generalidades:
| Muestreo de ruta numérica:
|
Notas
- ↑ N.Wiener Collected Works vol.1
- ^ Durrett, Rick (2019). "Movimiento browniano". Probabilidad: teoría y ejemplos (5ª ed.). ISBN 9781108591034.
- ^ "Constantes de caminata aleatoria de Pólya" . Wolfram Mathworld .
- ^ Steven Lalley, Finanzas matemáticas 345 Conferencia 5: Movimiento browniano (2001)
- ^ Shreve, Steven E (2008). Cálculo estocástico para las finanzas II: modelos de tiempo continuo . Saltador. pag. 114. ISBN 978-0-387-40101-0.
- ^ T. Berger, "Tasas de información de los procesos de Wiener", en IEEE Transactions on Information Theory, vol. 16, no. 2, págs. 134-139, marzo de 1970. doi: 10.1109 / TIT.1970.1054423
- ^ Kipnis, A., Goldsmith, AJ y Eldar, YC, 2019. La función de tasa de distorsión de los procesos de Wiener muestreados. Transacciones IEEE sobre teoría de la información, 65 (1), páginas 482-499.
- ^ Vervaat, W. (1979). "Una relación entre el puente browniano y la excursión browniana" . Anales de probabilidad . 7 (1): 143-149. doi : 10.1214 / aop / 1176995155 . JSTOR 2242845 .
- ^ "Preguntas de la entrevista VII: movimiento browniano integrado - Quantopia" . www.quantopia.net . Consultado el 14 de mayo de 2017 .
- ^ Foro, "Varianza del proceso integrado de Wiener" , 2009.
- ^ Revuz, D. y Yor, M. (1999). Martingalas continuas y movimiento browniano (Vol. 293). Saltador.
- ^ Doob, JL (1953). Procesos estocásticos (Vol. 101). Wiley: Nueva York.
- ^ Navarro-moreno, J .; Estudillo-martinez, MD; Fernandez-alcala, RM; Ruiz-molina, JC (2009), "Estimación de señales aleatorias impropias de valor complejo en ruido coloreado mediante el uso de la teoría del espacio de Hilbert", IEEE Transactions on Information Theory , 55 (6): 2859-2867, doi : 10.1109 / TIT. 2009.2018329
Referencias
- Kleinert, Hagen (2004). Integrales de ruta en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros (4ª ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.(también disponible en línea: archivos PDF )
- Stark, Henry; Woods, John (2002). Probabilidad y procesos aleatorios con aplicaciones al procesamiento de señales (3ª ed.). Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9.
- Revuz, Daniel; Yor, Marc (1994). Martingalas continuas y movimiento browniano (Segunda ed.). Springer-Verlag.
enlaces externos
- Artículo para el niño en edad escolar
- Movimiento browniano, "diverso y ondulado"
- Analiza la historia, la botánica y la física de las observaciones originales de Brown, con videos.
- "La predicción de Einstein finalmente fue testigo un siglo después" : una prueba para observar la velocidad del movimiento browniano
- "Aplicación web interactiva: procesos estocásticos utilizados en finanzas cuantitativas" .