Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner (también llamada función de Wigner o distribución de Wigner-Ville en honor a Eugene Wigner y Jean-André Ville ) es una distribución de cuasiprobabilidad . Fue introducido ^[1] por Eugene Wigner en 1932 para estudiar las correcciones cuánticas de la mecánica estadística clásica . El objetivo era vincular la función de onda que aparece en la ecuación de Schrödinger con una distribución de probabilidad en el espacio de fase .

Función Wigner de un llamado estado de gato .

Es una función generadora para todas las funciones de autocorrelación espacial de una función de onda mecánica cuántica dada $ψ (x)$ . Así, mapea ^[2] en la matriz de densidad cuántica en el mapa entre funciones de espacio de fase reales y operadores hermitianos introducidos por Hermann Weyl en 1927, ^[3] en un contexto relacionado con la teoría de la representación en matemáticas (cf. Cuantización de Weyl en física ). En efecto, es la transformada de Wigner-Weyl de la matriz de densidad, por lo que la realización de ese operador en el espacio de fase. Más tarde, Jean Ville la rederivó en 1948 como una representación cuadrática (en señal) de la energía local de tiempo-frecuencia de una señal , ^[4] efectivamente un espectrograma .

En 1949, José Enrique Moyal , que lo había derivado de forma independiente, lo reconoció como el funcional generador de momento cuántico , ^[5] y, por lo tanto, como la base de una codificación elegante de todos los valores de expectativa cuántica, y por lo tanto de la mecánica cuántica, en el espacio de fase ( cf. formulación de espacio de fase ). Tiene aplicaciones en la mecánica estadística , la química cuántica , óptica cuántica , clásica óptica y análisis de señales en diversos campos tales como la ingeniería eléctrica , la sismología , análisis de tiempo-frecuencia para señales de música , espectrogramas en la biología de procesamiento y el habla, y el diseño del motor .

Relación con la mecánica clásica

Una partícula clásica tiene una posición y un momento definidos y, por lo tanto, está representada por un punto en el espacio de fase. Dada una colección ( conjunto ) de partículas, la probabilidad de encontrar una partícula en una determinada posición en el espacio de fase se especifica mediante una distribución de probabilidad, la densidad de Liouville. Esta interpretación estricta falla para una partícula cuántica, debido al principio de incertidumbre . En cambio, la distribución de Wigner de cuasiprobabilidad anterior juega un papel análogo, pero no satisface todas las propiedades de una distribución de probabilidad convencional; y, a la inversa, satisface las propiedades de delimitación que no están disponibles para las distribuciones clásicas.

Por ejemplo, la distribución de Wigner puede y normalmente toma valores negativos para estados que no tienen un modelo clásico, y es un indicador conveniente de la interferencia mecánica cuántica. (Ver más abajo para una caracterización de estados puros cuyas funciones de Wigner no son negativas). Suavizar la distribución de Wigner a través de un filtro de tamaño mayor que $ħ$ (por ejemplo, convolucionar con un espacio de fase gaussiano, una transformada de Weierstrass , para producir la representación de Husimi , a continuación), da como resultado una función semidefinida positiva, es decir, se puede pensar que se ha reducido a una semiclásica. ^[a]

Se puede demostrar que las regiones de tal valor negativo (convolviéndolas con un pequeño gaussiano) son "pequeñas": no pueden extenderse a regiones compactas mayores que unos pocos $ħ$ y, por lo tanto, desaparecen en el límite clásico . Están protegidos por el principio de incertidumbre , que no permite una ubicación precisa dentro de regiones de espacio de fase menores que $ħ$ y, por lo tanto, hace que esas " probabilidades negativas " sean menos paradójicas.

Definición y significado

La distribución de Wigner $W (x, p)$ de un estado puro se define como:

${\ Displaystyle W (x, p) ~ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} ~ {\ frac {1} {\ pi \ hbar}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } \ psi ^ {*} (x + y) \ psi (xy) e ^ {2ipy / \ hbar} \, dy \,}$

donde $ψ$ es la función de onda y $x$ y $p$ son posición y el momento, pero podría ser cualquier par variable de conjugado (por ejemplo, las partes real e imaginaria del campo eléctrico o la frecuencia y tiempo de una señal). Tenga en cuenta que puede tener soporte en $x$ incluso en regiones donde $ψ$ no tiene soporte en $x$ ("beats").

Es simétrico en $x$ y $p$ ,

{\ Displaystyle W (x, p) = {\ frac {1} {\ pi \ hbar}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi ^ {*} (p + q) \ varphi ( pq) e ^ {- 2ixq / \ hbar} \, dq}

donde $φ$ es la función de onda espacio-momento normalizada, proporcional a la transformada de Fourier de $ψ$ .

En 3D,

{\ Displaystyle W ({\ vec {r}}, {\ vec {p}}) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int \ psi ^ {*} ({ \ vec {r}} + \ hbar {\ vec {s}} / 2) \ psi ({\ vec {r}} - \ hbar {\ vec {s}} / 2) e ^ {i {\ vec { p}} \ cdot {\ vec {s}}} \, d ^ {3} s.}

En el caso general, que incluye estados mixtos, es la transformada de Wigner de la matriz de densidad ,

{\ Displaystyle W (x, p) = {\ frac {1} {\ pi \ hbar}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ langle x + y | {\ hat {\ rho}} | xy \ rangle e ^ {- 2ipy / \ hbar} \, dy,}

donde ⟨ x | ψ ⟩ = $ψ (x)$ . Esta transformación (o mapa) de Wigner es la inversa de la transformada de Weyl , que asigna funciones de espacio de fase a operadores de espacio de Hilbert , en la cuantificación de Weyl .

Por tanto, la función de Wigner es la piedra angular de la mecánica cuántica en el espacio de fase .

En 1949, José Enrique Moyal aclaró cómo la función de Wigner proporciona la medida de integración (análoga a una función de densidad de probabilidad ) en el espacio de fase, para producir valores esperados de las funciones de número c de espacio de fase $g (x, p)$ asociadas de forma única a adecuadamente ordenadas operadores $Ĝ a$ través de la transformada de Weyl (cf. Transformada de Wigner-Weyl y propiedad 7 a continuación), de una manera que evoca la teoría clásica de la probabilidad .

En concreto, de un operador $Ĝ$ valor esperado es un "medio-espacio de fase" de la Wigner transformada de ese operador,

{\ Displaystyle \ langle {\ hat {G}} \ rangle = \ int \! dx \, dp ~ W (x, p) ~ g (x, p) ~.}

Propiedades matematicas

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner para diferentes estados propios de energía del oscilador armónico cuántico : a) n = 0 (estado fundamental), b) n = 1, c) n = 5.

1. W ( x , p ) es una función de valor real.

2. Las distribuciones de probabilidad x y p están dadas por los marginales :

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dp \, W (x, p) = \ langle x | {\ hat {\ rho}} | x \ rangle.}

Si el sistema puede describirse mediante un estado puro , se obtiene

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dp \, W (x, p) = | \ psi (x) | ^ {2}}

.

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, W (x, p) = \ langle p | {\ hat {\ rho}} | p \ rangle.}

Si el sistema puede describirse por un estado puro , uno tiene

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, W (x, p) = | \ varphi (p) | ^ {2}}

.

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dp \, W (x, p) = Tr ({\ hat {\ rho}} ).}

Normalmente, la traza de la matriz de densidad ρ̂ es igual a 1.

3. W ( x , p ) tiene las siguientes simetrías de reflexión:

Simetría de tiempo: ${\ Displaystyle \ psi (x) \ rightarrow \ psi (x) ^ {*} \ Rightarrow W (x, p) \ rightarrow W (x, -p).}$
Simetría espacial: ${\ Displaystyle \ psi (x) \ rightarrow \ psi (-x) \ Rightarrow W (x, p) \ rightarrow W (-x, -p).}$

4. W ( x , p ) es covariante de Galilei:

{\ Displaystyle \ psi (x) \ rightarrow \ psi (x + y) \ Rightarrow W (x, p) \ rightarrow W (x + y, p).}

No es covariante de Lorentz .

5. La ecuación de movimiento para cada punto en el espacio de fase es clásica en ausencia de fuerzas:

{\ Displaystyle {\ frac {\ W parcial (x, p)} {\ t parcial}} = {\ frac {-p} {m}} {\ frac {\ W parcial (x, p)} {\ parcial X}}.}

De hecho, es clásico incluso en presencia de fuerzas armónicas.

6. La superposición de estados se calcula como:

{\ Displaystyle | \ langle \ psi | \ theta \ rangle | ^ {2} = 2 \ pi \ hbar \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} dp \, W _ {\ psi} (x, p) W _ {\ theta} (x, p).}

7. Los valores esperados del operador (promedios) se calculan como promedios de espacio de fase de las respectivas transformaciones de Wigner:

{\ Displaystyle g (x, p) \ equiv \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dy \, \ left \ langle x - {\ frac {y} {2}} \ right | {\ hat { G}} \ left | x + {\ frac {y} {2}} \ right \ rangle e ^ {ipy / \ hbar},}

{\ Displaystyle \ langle \ psi | {\ hat {G}} | \ psi \ rangle = Tr ({\ hat {\ rho}} {\ hat {G}}) = \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} dx \, \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dp \, W (x, p) g (x, p).}

8. Para que W ( x , p ) represente matrices de densidad física (positiva):

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dp \, W (x, p) W _ {\ theta} (x, p ) \ geq 0 ~,}

para todos los estados puros | θ〉.

9. En virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , para un estado puro, está limitado a estar acotado,

{\ Displaystyle - {\ frac {2} {h}} \ leq W (x, p) \ leq {\ frac {2} {h}}.}

Este límite desaparece en el límite clásico, ħ → 0. En este límite, W ( x , p ) se reduce a la densidad de probabilidad en el espacio de coordenadas x , generalmente muy localizado, multiplicado por las funciones δ en el momento: el límite clásico es "puntiagudo ". Por lo tanto, este límite de la mecánica cuántica excluye una función de Wigner que es una función delta perfectamente localizada en el espacio de fase, como un reflejo del principio de incertidumbre. ^[6]

10. La transformación de Wigner es simplemente la transformada de Fourier de las antidiagonales de la matriz de densidad, cuando esa matriz se expresa en una base de posición. ^[7]

Ejemplos de

Dejar ${\ Displaystyle | m \ rangle \ equiv {\ frac {a ^ {\ dagger m}} {\ sqrt {m!}}} | 0 \ rangle}$ ser el ${\ Displaystyle m}$ -ésimo estado de Fock de un oscilador armónico cuántico . Groenewold (1946) descubrió que su función de Wigner asociada, en variables adimensionales, es

{\ Displaystyle W_ {| m \ rangle} (x, p) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {\ pi}} e ^ {- (x ^ {2} + p ^ {2} )} L_ {m} (2 (p ^ {2} + x ^ {2})),}

dónde

{\ Displaystyle L_ {m} (x)}

denota el

{\ Displaystyle m}

-ésimo polinomio de Laguerre .

Esto puede resultar de la expresión de las funciones de onda de estado propio estático, ${\ Displaystyle u_ {m} (x) = \ pi ^ {- 1/4} H_ {m} (x) e ^ {- x ^ {2} / 2}}$ , dónde ${\ Displaystyle H_ {m}}$ es el ${\ Displaystyle m}$ -ésimo polinomio de Hermite . De la definición anterior de la función de Wigner, ante un cambio de las variables de integración,

{\ Displaystyle W_ {| m \ rangle} (x, p) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {\ pi ^ {3/2} 2 ^ {m} m!}} e ^ { -x ^ {2} -p ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ zeta e ^ {- \ zeta ^ {2}} H_ {m} (\ zeta -ip + x) H_ {m} (\ zeta -ip-x).}

La expresión se deriva entonces de la relación integral entre los polinomios de Hermite y Laguerre. ^[8]

Ecuación de evolución para la función de Wigner

La transformación de Wigner es una transformación invertible general de un operador $Ĝ$ en un espacio de Hilbert a una función g (x, p) en el espacio de fase , y está dada por

{\ Displaystyle g (x, p) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} ds ~ e ^ {ips / \ hbar} \ left. \ left \ langle x - {\ frac {s} {2 }} \ right. \ right | \ {\ hat {G}} \ \ left. \ left | x + {\ frac {s} {2}} \ right. \ right \ rangle.}

Los operadores hermitianos se asignan a funciones reales. La inversa de esta transformación, es decir, del espacio de fase al espacio de Hilbert, se llama transformación de Weyl ,

{\ Displaystyle \ langle x | \ {\ hat {G}} \ | y \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {dp \ over h} ~ e ^ {ip (xy) / \ hbar} g \ left ({x + y \ over 2}, p \ right),}

(no confundir con la distinta transformación de Weyl en geometría diferencial ).

Por tanto, se considera que la función de Wigner W ( x, p ) analizada aquí es la transformada de Wigner del operador de matriz de densidad ρ̂ . Por lo tanto, la traza de un operador con la matriz de densidad Wigner se transforma en la superposición integral de espacio de fase equivalente de g ( x , p ) con la función de Wigner.

La transformada de Wigner de la ecuación de evolución de von Neumann de la matriz de densidad en la imagen de Schrödinger es

Ecuación de evolución de Moyal para la función Wigner,

{\ Displaystyle {\ W (x, p, t) parcial \ sobre \ t parcial} = - \ {\ {W (x, p, t) ~, ~ H (x, p) \} \} ~,}

donde H (x, p) es hamiltoniano y {{•, •}} es el paréntesis de Moyal . En el límite clásico ħ → 0, el corchete de Moyal se reduce al corchete de Poisson, mientras que esta ecuación de evolución se reduce a la ecuación de Liouville de la mecánica estadística clásica.

Estrictamente formal, en términos de características cuánticas , la solución de esta ecuación de evolución dice: ${\ Displaystyle W (x, p, t) = W (\ star (x _ {- t} (x, p), p _ {- t} (x, p)), 0)}$ , dónde ${\ Displaystyle x_ {t} (x, p)}$ y ${\ Displaystyle p_ {t} (x, p)}$ son soluciones de las llamadas ecuaciones cuánticas de Hamilton , sujetas a condiciones iniciales ${\ Displaystyle x_ {t = 0} (x, p) = x}$ y ${\ Displaystyle p_ {t = 0} (x, p) = p}$ , y donde ⋆ {\ Displaystyle \ star} -La composición del producto se entiende para todas las funciones del argumento.

Sin embargo, dado que ${\ Displaystyle \ star}$ -La composición es completamente no local (el "fluido de probabilidad cuántica" se difunde, según lo observado por Moyal), los vestigios de las trayectorias locales son normalmente apenas perceptibles en la evolución de la función de distribución de Wigner. ^[b] En la representación integral de ★ -productos, las operaciones sucesivas realizadas por ellos se han adaptado a una integral de trayectoria de espacio-fase, para resolver esta ecuación de evolución para la función de Wigner ^[9] (ver también ^[10]^[11]^{[ 12]} ). Esta característica no trayectoria de la evolución temporal de Moyal ^[13] se ilustra en la galería a continuación, para los hamiltonianos más complejos que el oscilador armónico.

Ejemplos de evoluciones temporales de la función Wigner