En la teoría del calibre , un bucle de Wilson (llamado así por Kenneth G. Wilson ) es un observable invariante del calibre obtenido de la holonomía de la conexión del calibre alrededor de un bucle dado. En la teoría clásica, la colección de todos los bucles de Wilson contiene información suficiente para reconstruir la conexión del indicador, hasta la transformación del indicador . [1]
Descripción general
En la teoría cuántica de campos , la definición de observables de bucle de Wilson como operadores de buena fe en espacios de Fock es un problema matemáticamente delicado y requiere regularización , generalmente equipando cada bucle con un marco . La acción de los operadores de bucle de Wilson tiene la interpretación de crear una excitación elemental del campo cuántico que se localiza en el bucle. De esta manera, los "tubos de flujo" de Faraday se convierten en excitaciones elementales del campo electromagnético cuántico.
Los bucles de Wilson se introdujeron en 1974 en un intento de una formulación no perturbadora de la cromodinámica cuántica (QCD), o al menos como una colección conveniente de variables para tratar con el régimen de interacción fuerte de QCD. [2] El problema del confinamiento , para el que se diseñaron los bucles de Wilson, sigue sin resolverse hasta el día de hoy.
El hecho de que las teorías de campo de calibre cuántico fuertemente acopladas tengan excitaciones elementales no perturbativas que son bucles motivó a Alexander Polyakov a formular las primeras teorías de cuerdas , que describían la propagación de un bucle cuántico elemental en el espacio-tiempo.
Los bucles de Wilson desempeñaron un papel importante en la formulación de la gravedad cuántica de bucles , pero allí son reemplazados por redes de espín (y, más tarde, espumas de espín ), una cierta generalización de los bucles de Wilson.
En física de partículas y teoría de cuerdas , los bucles de Wilson a menudo se denominan líneas de Wilson , especialmente los bucles de Wilson alrededor de bucles no contraíbles de una variedad compacta.
Una ecuación
La variable de bucle de Wilson es una cantidad definida por la traza de una trayectoria exponencial ordenada de un campo de calibre transportado a lo largo de una línea cerrada C:
Aquí, es una curva cerrada en el espacio, es el operador de orden de ruta . Bajo una transformación de calibre
- ,
dónde corresponde al punto inicial (y final) del bucle (solo contribuyen el punto inicial y final de una línea, mientras que las transformaciones de calibre intermedias se cancelan entre sí). Para los medidores SU (2), por ejemplo, uno tiene; es una función real arbitraria de , y son las tres matrices de Pauli; como de costumbre, está implícita una suma sobre índices repetidos.
La invariancia de la traza bajo permutaciones cíclicas garantiza quees invariante bajo transformaciones de calibre . Tenga en cuenta que la cantidad sobre la que se está trazando es un elemento del grupo de Lie de calibre y la traza es realmente el carácter de este elemento con respecto a una de las infinitas representaciones irreductibles , lo que implica que los operadoresno necesita estar restringido a la "clase de rastreo" (por lo tanto, con un espectro puramente discreto), pero puede ser generalmente hermitiano (o matemáticamente: autoadjunto) como de costumbre. Precisamente porque finalmente estamos viendo la traza, no importa qué punto del bucle se elija como punto inicial. Todos dan el mismo valor.
En realidad, si A se ve como una conexión sobre un paquete G principal , la ecuación anterior realmente debería "leerse" como el transporte paralelo de la identidad alrededor del bucle que daría un elemento del grupo de Lie G.
Tenga en cuenta que un exponencial ordenado por trayectoria es una notación abreviada conveniente común en física que oculta un buen número de operaciones matemáticas. Un matemático se referiría a la exponencial ordenada por trayectoria de la conexión como "la holonomía de la conexión" y la caracterizaría por la ecuación diferencial de transporte paralelo que satisface.
En T = 0, donde T corresponde a la temperatura, la variable de bucle de Wilson caracteriza el confinamiento o desconfinamiento de una teoría de campo cuántico invariante de calibre, es decir, según si la variable aumenta con el área o, alternativamente, con la circunferencia del bucle ( "ley de área", o alternativamente "ley circunferencial" también conocida como "ley de perímetro").
En QCD de temperatura finita, el valor térmico esperado de la línea de Wilson distingue entre la fase "hadrónica" confinada y el estado desconfinado del campo, por ejemplo, el plasma de quark-gluón .
Ver también
Referencias
- ^ Giles, R. (1981). "Reconstrucción de potenciales de calibre de bucles de Wilson". Physical Review D . 24 (8): 2160. Código Bibliográfico : 1981PhRvD..24.2160G . doi : 10.1103 / PhysRevD.24.2160 .
- ^ Wilson, K. (1974). "Confinamiento de quarks". Physical Review D . 10 (8): 2445. Código Bibliográfico : 1974PhRvD..10.2445W . doi : 10.1103 / PhysRevD.10.2445 .
enlaces externos
- Beckman, David; Gottesman, Daniel; Kitaev, Alexei; Preskill, John (5 de marzo de 2002). "Mensurabilidad de los operadores de bucle de Wilson" . Physical Review D . 65 (6): 065022. arXiv : hep-th / 0110205 . doi : 10.1103 / PhysRevD.65.065022 . ISSN 0556-2821 .