En la teoría de la probabilidad y la estadística direccional , una distribución de Cauchy envuelta es una distribución de probabilidad envuelta que resulta de la "envoltura" de la distribución de Cauchy alrededor del círculo unitario . La distribución de Cauchy a veces se conoce como distribución de Lorentz, y la distribución de Cauchy envuelta a veces puede denominarse distribución de Lorentzian envuelta.
Función de densidad de probabilidad El soporte se elige para ser [-π, π) | |||
Función de distribución acumulativa El soporte se elige para ser [-π, π) | |||
Parámetros | Verdadero | ||
---|---|---|---|
Apoyo | |||
CDF | |||
Significar | (circular) | ||
Diferencia | (circular) | ||
Entropía | (diferencial) | ||
CF |
La distribución de Cauchy envuelta se encuentra a menudo en el campo de la espectroscopia donde se utiliza para analizar patrones de difracción (por ejemplo, ver interferómetro de Fabry-Pérot ).
Descripción
La función de densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy envuelta es: [1]
dónde es el factor de escala y es la posición máxima de la distribución "desenvuelta". Expresando el pdf anterior en términos de la función característica de la distribución de Cauchy, se obtiene:
La PDF también se puede expresar en términos de la variable circular z = e i θ y el parámetro complejo ζ = e i (μ + i γ)
donde, como se muestra a continuación, ζ =
En términos de la variable circular los momentos circulares de la distribución de Cauchy envuelta son la función característica de la distribución de Cauchy evaluada en argumentos enteros:
dónde es un intervalo de longitud . El primer momento es entonces el valor promedio de z , también conocido como la media resultante o vector resultante media:
El ángulo medio es
y la longitud de la media resultante es
produciendo una varianza circular de 1-R .
Estimación de parámetros
Una serie de N medicionesextraído de una distribución de Cauchy envuelta se puede utilizar para estimar ciertos parámetros de la distribución. El promedio de la serie Se define como
y su valor esperado será solo el primer momento:
En otras palabras, es un estimador insesgado del primer momento. Si asumimos que la posición pico yace en el intervalo , luego Arg será un estimador (sesgado) de la posición máxima .
Viendo el como un conjunto de vectores en el plano complejo, el estadística es la longitud del vector promediado:
y su valor esperado es
En otras palabras, la estadística
será un estimador insesgado de , y será un estimador (sesgado) de .
Entropía
La entropía de información de la distribución de Cauchy envuelta se define como: [1]
dónde es cualquier intervalo de longitud . El logaritmo de la densidad de la distribución de Cauchy envuelta se puede escribir como una serie de Fourier en:
dónde
cuyos rendimientos:
(cf. Gradshteyn y Ryzhik [2] 4.224.15) y
(véase Gradshteyn y Ryzhik [2] 4.397.6). La representación de la función característica para la distribución de Cauchy envuelta en el lado izquierdo de la integral es:
dónde . Sustituyendo estas expresiones en la integral de entropía, intercambiando el orden de integración y suma, y usando la ortogonalidad de los cosenos, la entropía se puede escribir:
La serie es solo la expansión de Taylor para el logaritmo depor lo que la entropía se puede escribir en forma cerrada como:
Distribución circular de Cauchy
Si X tiene una distribución de Cauchy con mediana μ y parámetro de escala γ, entonces la variable compleja
tiene módulo unitario y se distribuye en el círculo unitario con densidad: [3]
dónde
y ψ expresa los dos parámetros de la distribución de Cauchy lineal asociada para x como un número complejo:
Puede verse que la distribución de Cauchy circular tiene la misma forma funcional que la distribución de Cauchy envuelta en zy ζ (es decir, f WC (z, ζ)). La distribución circular de Cauchy es una distribución de Cauchy envuelta reparametrizada:
La distribución se denomina distribución circular de Cauchy [3] [4] (también distribución compleja de Cauchy [3] ) con parámetros μ y γ. (Véase también la parametrización de McCullagh de las distribuciones de Cauchy y el núcleo de Poisson para conceptos relacionados).
La distribución circular de Cauchy expresada en forma compleja tiene momentos finitos de todos los órdenes.
para entero n ≥ 1. Para | φ | <1, la transformación
es holomórfica en el disco unitario, y la variable transformada U ( Z , φ) se distribuye como Cauchy complejo con parámetro U (ζ, φ).
Dada una muestra z 1 , ..., z n de tamaño n > 2, la ecuación de máxima verosimilitud
se puede resolver mediante una iteración simple de punto fijo:
comenzando con ζ (0) = 0. La secuencia de valores de probabilidad no es decreciente y la solución es única para muestras que contienen al menos tres valores distintos. [5]
La estimación de máxima verosimilitud para la mediana () y parámetro de escala () de una muestra de Cauchy real se obtiene mediante la transformación inversa:
Para n ≤ 4, las expresiones de forma cerrada son conocidas por. [6] La densidad del estimador de máxima verosimilitud en t en el disco unitario es necesariamente de la forma:
dónde
- .
Están disponibles fórmulas para p 3 y p 4 . [7]
Ver también
Referencias
- ^ a b Mardia, Kantilal ; Jupp, Peter E. (1999). Estadísticas direccionales . Wiley. ISBN 978-0-471-95333-3.
- ^ a b Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich (febrero de 2007). Jeffrey, Alan; Zwillinger, Daniel (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (7 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 0-12-373637-4. LCCN 2010481177 .
- ^ a b c McCullagh, Peter (junio de 1992). "Inferencia condicional y modelos de Cauchy" (PDF) . Biometrika . 79 (2): 247–259. doi : 10.1093 / biomet / 79.2.247 . Consultado el 26 de enero de 2016 .
- ^ KV Mardia (1972). Estadísticas de datos direccionales . Prensa académica .[ página necesaria ]
- ^ J. Copas (1975). "Sobre la unimodalidad de la función de verosimilitud para la distribución de Cauchy". Biometrika . 62 (3): 701–704. doi : 10.1093 / biomet / 62.3.701 .
- ^ Ferguson, Thomas S. (1978). "Estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros de la distribución de Cauchy para muestras de tamaño 3 y 4". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 73 (361): 211–213. doi : 10.1080 / 01621459.1978.10480031 . JSTOR 2286549 .
- ^ P. McCullagh (1996). "Transformación de Möbius y estimación de parámetros de Cauchy". Annals of Statistics . 24 (2): 786–808. JSTOR 2242674 .
- Borradaile, Graham (2003). Estadísticas de datos de ciencias de la tierra . Saltador. ISBN 978-3-540-43603-4. Consultado el 31 de diciembre de 2009 .
- Fisher, NI (1996). Análisis estadístico de datos circulares . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-56890-6. Consultado el 9 de febrero de 2010 .