En matemáticas , en particular en topología algebraica y geometría diferencial , las clases de Stiefel-Whitney son un conjunto de invariantes topológicos de un paquete vectorial real que describen las obstrucciones para construir en todas partes conjuntos independientes de secciones del paquete vectorial. Las clases de Stiefel-Whitney están indexadas de 0 a n , donde n es el rango del conjunto de vectores. Si la clase Stiefel-Whitney del índice i es distinta de cero, entonces no puede existir ( n − i+1) en todas partes secciones linealmente independientes del paquete vectorial. Una clase de Stiefel -Whitney distinta de cero indica que cada sección del paquete debe desaparecer en algún punto. Una primera clase de Stiefel-Whitney distinta de cero indica que el paquete vectorial no es orientable . Por ejemplo, la primera clase de Stiefel-Whitney de la cinta de Möbius , como paquete de líneas sobre el círculo, no es cero, mientras que la primera clase de Stiefel-Whitney del paquete de líneas trivial sobre el círculo, S 1 × R , es cero.
La clase Stiefel-Whitney recibió su nombre de Eduard Stiefel y Hassler Whitney y es un ejemplo de una clase característica Z / 2 Z asociada a fibrados vectoriales reales.
En geometría algebraica, también se pueden definir clases análogas de Stiefel-Whitney para paquetes vectoriales con una forma cuadrática no degenerada, tomando valores en grupos de cohomología etale o en la teoría K de Milnor . Como caso especial, se pueden definir las clases de Stiefel-Whitney para formas cuadráticas sobre cuerpos, siendo los dos primeros casos el discriminante y el invariante de Hasse-Witt ( Milnor 1970 ).
Para un paquete vectorial real E , la clase Stiefel-Whitney de E se denota por w ( E ) . Es un elemento del anillo de cohomología.
aquí X es el espacio base del paquete E , y Z /2 Z (a menudo denotado alternativamente por Z 2 ) es el anillo conmutativo cuyos únicos elementos son 0 y 1. El componente de w ( E ) en H i ( X ; Z /2 Z ) se denota por w i ( E ) y se llama la i -ésima clase Stiefel-Whitney de E . Así w ( E) = w 0 ( mi ) + w 1 ( mi ) + w 2 ( mi ) + ⋅⋅⋅ , donde cada w yo ( mi ) es un elemento de H yo ( X ; Z /2 Z ) .
La clase de Stiefel-Whitney w ( E ) es una invariante del paquete vectorial real E ; es decir, cuando F es otro paquete vectorial real que tiene el mismo espacio base X que E , y si F es isomorfo a E , entonces las clases de Stiefel-Whitney w ( E ) y w ( F ) son iguales. (Aquí isomorfo significa que existe un isomorfismo de haz vectorial E → F que cubrela identidad id X : X → X .) Si bien en general es difícil decidir si dos paquetes de vectores reales E y F son isomorfos, las clases de Stiefel-Whitney w ( E ) y w ( F ) a menudo se pueden calcular fácilmente. Si son diferentes, se sabe que E y F no son isomorfos.