En física matemática , el problema de existencia y brecha de masa de Yang-Mills es un problema no resuelto y uno de los siete problemas del premio Millennium definidos por el Clay Mathematics Institute , que ha ofrecido un premio de US $ 1.000.000 por su solución.
El problema está redactado de la siguiente manera: [1]
- Existencia de Yang-Mills y brecha de masa. Demuestre que para cualquier grupo de calibre simple compacto G, existe una teoría cuántica de Yang-Mills no trivial en y tiene una brecha de masa Δ> 0. La existencia incluye el establecimiento de propiedades axiomáticas al menos tan fuertes como las citadas en Streater y Wightman (1964) , Osterwalder y Schrader (1973) y Osterwalder y Schrader (1975) .
En esta afirmación, una teoría de Yang-Mills es una teoría de campo cuántico no abeliana similar a la que subyace al Modelo Estándar de física de partículas ;es euclidiana de 4 espacios ; la brecha de masa Δ es la masa de la partícula menos masiva predicha por la teoría.
Por tanto, el ganador deberá demostrar que:
- La teoría de Yang-Mills existe y satisface el estándar de rigor que caracteriza a la física matemática contemporánea , en particular la teoría de campos cuánticos constructivos , [2] [3] y
- La masa de la partícula menos masiva del campo de fuerza predicha por la teoría es estrictamente positiva.
Por ejemplo, en el caso de G = SU (3) —la interacción nuclear fuerte— el ganador debe demostrar que las bolas de pegamento tienen un límite de masa más bajo y, por lo tanto, no pueden ser arbitrariamente ligeras.
Se sabe que el problema general de determinar la presencia de una brecha espectral en un sistema es indecidible . [4] [5]
Fondo
[...] todavía no se tiene un ejemplo matemáticamente completo de una teoría del calibre cuántico en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones , ni siquiera una definición precisa de la teoría del calibre cuántico en cuatro dimensiones. ¿Cambiará esto en el siglo XXI? ¡Eso esperamos!
- De la descripción oficial del problema del Clay Institute por Arthur Jaffe y Edward Witten .
El problema requiere la construcción de un QFT que satisfaga los axiomas de Wightman y muestre la existencia de una brecha de masa. Ambos temas se describen en las secciones siguientes.
Los axiomas de Wightman
El problema del Milenio requiere que la teoría de Yang-Mills propuesta satisfaga los axiomas de Wightman o axiomas igualmente estrictos. [1] Hay cuatro axiomas:
- W0 (supuestos de la mecánica cuántica relativista)
La mecánica cuántica se describe según von Neumann ; en particular, los estados puros vienen dados por los rayos, es decir, los subespacios unidimensionales, de algún espacio de Hilbert complejo separable .
Los axiomas de Wightman requieren que el grupo de Poincaré actúe unitariamente sobre el espacio de Hilbert. En otras palabras, tienen operadores dependientes de la posición llamados campos cuánticos que forman representaciones covariantes del grupo de Poincaré .
El grupo de traducciones espacio-temporales es conmutativo , por lo que los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente. Los generadores de estos grupos nos dan cuatro operadores autoadjuntos ,, j = 1, 2, 3, que se transforman bajo el grupo homogéneo como un cuatro-vector, llamado cuatro-vector energía-momento.
La segunda parte del axioma cero de Wightman es que la representación U ( a , A ) cumple la condición espectral: que el espectro simultáneo de energía-momento está contenido en el cono delantero:
La tercera parte del axioma es que existe un estado único, representado por un rayo en el espacio de Hilbert, que es invariante bajo la acción del grupo de Poincaré. Se llama vacío.
- W1 (supuestos sobre el dominio y la continuidad del campo)
Para cada función de prueba f , existe un conjunto de operadoresque, junto con sus adjuntos, se definen en un subconjunto denso del espacio de estado de Hilbert, que contiene el vacío. Los campos A son distribuciones templadas valoradas por el operador . El espacio de estado de Hilbert está atravesado por los polinomios de campo que actúan sobre el vacío (condición de ciclicidad).
- W2 (ley de transformación del campo)
Los campos son covariantes bajo la acción del grupo de Poincaré , y se transforman según alguna representación S del grupo de Lorentz , o SL (2, C ) si el espín no es entero:
- W3 (conmutatividad local o causalidad microscópica)
Si los soportes de dos campos están separados como un espacio , entonces los campos conmutan o anticonmutan.
La ciclicidad de un vacío y la singularidad de un vacío a veces se consideran por separado. Además, existe la propiedad de la completitud asintótica: que el espacio de estados de Hilbert está atravesado por los espacios asintóticos y , que aparece en la matriz S de colisión . La otra propiedad importante de la teoría de campos es la brecha de masa que no es requerida por los axiomas, que el espectro de energía-momento tiene una brecha entre cero y algún número positivo.
Brecha de masa
En la teoría cuántica de campos , la brecha de masa es la diferencia de energía entre el vacío y el siguiente estado de energía más bajo . La energía del vacío es cero por definición, y suponiendo que todos los estados de energía se pueden considerar como partículas en ondas planas, la brecha de masa es la masa de la partícula más ligera.
Para un campo real dado , podemos decir que la teoría tiene una brecha de masa si la función de dos puntos tiene la propiedad
con siendo el valor de energía más bajo en el espectro del hamiltoniano y, por lo tanto, la brecha de masa. Esta cantidad, fácil de generalizar a otros campos, es lo que generalmente se mide en cálculos reticulares. De esta manera se demostró que la teoría de Yang-Mills desarrolla un espacio de masa en una red. [6] [7]
Importancia de la teoría de Yang-Mills
La mayoría de las teorías de campo cuánticas conocidas y no triviales (es decir, que interactúan) en 4 dimensiones son teorías de campo efectivas con una escala de corte . Dado que la función beta es positiva para la mayoría de los modelos, parece que la mayoría de estos modelos tienen un poste Landau, ya que no está del todo claro si tienen puntos fijos UV no triviales . Esto significa que si tal QFT está bien definido en todas las escalas, como debe ser para satisfacer los axiomas de la teoría cuántica de campos axiomáticos , tendría que ser trivial (es decir, una teoría de campo libre ).
La teoría cuántica de Yang-Mills con un grupo gauge no abeliano y sin quarks es una excepción, porque la libertad asintótica caracteriza esta teoría, lo que significa que tiene un punto fijo UV trivial . Por lo tanto, es el QFT constructivo no trivial más simple en 4 dimensiones. ( QCD es una teoría más complicada porque involucra quarks ).
Confinamiento de quarks
En el nivel de rigor de la física teórica , está bien establecido que la teoría cuántica de Yang-Mills para un grupo de Lie no abeliano exhibe una propiedad conocida como confinamiento ; aunque la física matemática adecuada tiene requisitos más exigentes en una prueba. Una consecuencia de esta propiedad es que por encima de la escala de confinamiento , las cargas de color están conectadas por tubos de flujo cromodinámico que conducen a un potencial lineal entre las cargas. Por lo tanto, la carga de color libre y los gluones libres no pueden existir. En ausencia de confinamiento, esperaríamos ver gluones sin masa, pero como están confinados, todo lo que veríamos son estados unidos de gluones de color neutro, llamados bolas de pegamento . Si existen bolas de pegamento, son masivas, por lo que se espera una brecha de masa.
Referencias
- ^ a b Arthur Jaffe y Edward Witten " Teoría cuántica de Yang-Mills ". Descripción oficial del problema.
- ^ R. Streater y A. Wightman, PCT, Spin and Statistics y todo eso , WA Benjamin, Nueva York, 1964.
- ^ K. Osterwalder y R. Schrader, Axiomas para funciones de Euclidean Green , Comm. Matemáticas. Phys. 31 (1973), 83-112 y Comm. Matemáticas. Phys. 42 (1975), 281-305.
- ^ Michael Wolf, Toby Cubitt, David Perez García Problema irresoluble // En el mundo de la ciencia - 2018, № 12. - p. 46 - 59
- ^ Davide Castelvecchi. "La paradoja en el corazón de las matemáticas hace que el problema de la física sea incontestable" . Naturaleza .
- ^ Lucini, Biagio; Teper, Michael; Wenger, Urs (2004). "Glueballs y k-strings en las teorías de calibre SU (N): cálculos con operadores mejorados". Revista de Física de Altas Energías . 0406 (6): 012. arXiv : hep-lat / 0404008 . Código bibliográfico : 2004JHEP ... 06..012L . doi : 10.1088 / 1126-6708 / 2004/06/012 ..
- ^ Chen, Y .; Alexandru, A .; Dong, SJ; Draper, T .; Horvath, I .; Lee, FX; Liu, KF; Mathur, N .; Morningstar, C .; Peardon, M .; Tamhankar, S .; Young, BL; Zhang, JB (2006). "Elementos de matriz y espectro de bola de pegamento en celosías anisotrópicas". Physical Review D . 73 (1): 014516. arXiv : hep-lat / 0510074 . Código bibliográfico : 2006PhRvD..73a4516C . doi : 10.1103 / PhysRevD.73.014516 ..
Otras lecturas
- Streater, R .; Wightman, A. (1964). PCT, Spin y Estadísticas y todo eso . WA Benjamin.
- Osterwalder, K .; Schrader, R. (1973). "Axiomas para funciones de Euclidean Green". Comunicaciones en Física Matemática . 31 (2): 83–112. Código Bibliográfico : 1973CMaPh..31 ... 83O . doi : 10.1007 / BF01645738 .
- Osterwalder, K .; Schrader, R. (1975). "Axiomas para funciones de Euclidean Green II". Comunicaciones en Física Matemática . 42 (3): 281-305. Código Bibliográfico : 1975CMaPh..42..281O . doi : 10.1007 / BF01608978 .
- Bogoliubov, N .; Logunov, A .; Oksak; Todorov, I. (1990). Principios generales de la teoría cuántica de campos . Kluver.
- Strocchi, F. (1994). Temas seleccionados de las propiedades generales de la teoría cuántica de campos FF . World Scientific.
- Dynin, A. (2014). "Dinámica cuántica de Yang-Mills-Weyl en el paradigma de Schroedinger". Revista rusa de física matemática . 21 (2): 169-188. Código bibliográfico : 2014RJMP ... 21..169D . doi : 10.1134 / S1061920814020046 .
- Dynin, A. (2014). "Sobre el problema de la brecha masiva de Yang-Mills". Revista rusa de física matemática . 21 (3): 326–328. Código bibliográfico : 2014RJMP ... 21..326D . doi : 10.1134 / S1061920814030042 .
- Bushhorn, G .; Wess, J. (2004). Simposio del centenario de Heisenberg "Desarrollos en la física moderna" . Saltador.
enlaces externos
- Los problemas del Millennium Prize: Yang-Mills y Mass Gap