En álgebra , el lema de Zariski , probado por Oscar Zariski ( 1947 ), establece que, si un campo K se genera finitamente como un álgebra asociativa sobre otro campo k , entonces K es una extensión de campo finito de k (es decir, también es finitamente generado como un espacio vectorial ).
Una aplicación importante del lema es una prueba de la forma débil del nullstellensatz de Hilbert : [1] si I es un ideal propio de( k campo algebraicamente cerrado ), entonces I tiene un cero; es decir, hay un punto x en tal que para todos los f en yo . (Prueba: reemplazando I por un ideal máximo , podemos asumir es máxima. Dejar y sea la sobreyección natural. Dado que k es algebraicamente cerrado, por el lema, y luego para cualquier ,
- ;
es decir, es un cero de .)
El lema también puede entenderse desde la siguiente perspectiva. En general, un anillo R es un anillo de Jacobson si y sólo si cada finitamente generado R -algebra que es un campo es finita sobre R . [2] Por lo tanto, el lema se deriva del hecho de que un campo es un anillo de Jacobson.
Prueba
En Atiyah-MacDonald se dan dos pruebas directas, una de las cuales se debe a Zariski. [3] [4] Para ver la prueba original de Zariski, consulte el documento original. [5] A continuación se da otra prueba directa en el lenguaje de los anillos de Jacobson . El lema también es una consecuencia del lema de normalización de Noether . De hecho, según el lema de normalización, K es un módulo finito sobre el anillo polinomial dónde son elementos de K que son algebraicamente independientes sobre k . Pero como K tiene una dimensión de Krull cero y una extensión de anillo integral (por ejemplo, una extensión de anillo finita) conserva las dimensiones de Krull, el anillo polinomial debe tener una dimensión de cero; es decir,.
La siguiente caracterización de un anillo de Jacobson contiene el lema de Zariski como un caso especial. Recuerde que un anillo es un anillo de Jacobson si todo ideal primo es una intersección de ideales máximos. (Cuando A es un campo, A es un anillo de Jacobson y el teorema de abajo es precisamente el lema de Zariski).
Teorema - [2] Sea A un anillo. Entonces los siguientes son equivalentes.
- A es un anillo de Jacobson.
- Cada finito generado un -algebra B que es un campo es finita sobre un .
Prueba: 2. 1 .: Deje ser un ideal primo de A y establecer. Necesitamos mostrar que el radical de Jacobson de B es cero. Para ese fin, dejar que f sea un elemento no nulo de B . Dejar ser un ideal máximo de la localización . Luegoes un campo que es un álgebra A generada finitamente y, por lo tanto, es finito sobre A por supuesto; por lo que es finito sobre y así es finito sobre el subanillo dónde . Por integralidad,es un ideal máximo que no contiene f .
1. 2 .: Dado que un anillo de factor de un anillo de Jacobson es Jacobson, podemos suponer que B contiene A como un subanillo. Entonces la afirmación es una consecuencia del siguiente hecho algebraico:
- (*) Dejar ser dominios integrales de modo que B se genere de forma finita como A -algebra. Entonces existe una diferente de cero una en A tal que cada homomorfismo de anillos , K un campo algebraicamente cerrado, con se extiende a .
De hecho, elija un ideal máximo de A que no contiene a . Escribiendo K para algún cierre algebraico de, el mapa canónico se extiende a . Dado que B es un campo,es inyectivo y, por lo tanto, B es algebraico (por lo tanto, algebraico finito) sobre. Ahora probamos (*). Si B contiene un elemento que es trascendental sobre A , entonces contiene un anillo polinomial sobre A al que φ se extiende (sin un requisito en a ) y entonces podemos asumir que B es algebraico sobre A (por el lema de Zorn, por ejemplo). Dejarser los generadores de B como A -algebra. Entonces cada satisface la relación
donde n depende de i y. Colocar. Luego es integral sobre . Ahora dado, primero lo ampliamos a configurando . A continuación, deja. Por integralidad, por un ideal máximo de . Luego se extiende a . Restringe el último mapa a B para terminar la prueba.
Notas
- ↑ Milne , Teorema 2.12
- ↑ a b Atiyah-MacDonald 1969 , Ch 5. Ejercicio 25
- ↑ Atiyah – MacDonald 1969 , Ch 5. Ejercicio 18
- ^ Atiyah – MacDonald 1969 , Proposición 7.9
- ^ http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183510605
Referencias
- M. Atiyah , IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley , 1994. ISBN 0-201-40751-5
- James Milne , geometría algebraica
- Zariski, Oscar (1947), "Una nueva prueba de Nullstellensatz de Hilbert" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 53 : 362–368, doi : 10.1090 / s0002-9904-1947-08801-7 , MR 0020075