En álgebra, un anillo de Hilbert o un anillo de Jacobson es un anillo tal que cada ideal primo es una intersección de ideales primitivos . Para los anillos conmutativos, los ideales primitivos son los mismos que los ideales máximos, por lo que en este caso, un anillo de Jacobson es uno en el que cada ideal primo es una intersección de ideales máximos.
Los anillos de Jacobson fueron introducidos de forma independiente por Wolfgang Krull ( 1951 , 1952 ), quien los nombró en honor a Nathan Jacobson debido a su relación con los radicales de Jacobson, y por Oscar Goldman ( 1951 ), quien los llamó anillos de Hilbert en honor a David Hilbert debido a su relación con los Nullstellensatz .
Anillos de Jacobson y el Nullstellensatz
El Nullstellensatz de Hilbert de geometría algebraica es un caso especial del enunciado de que el anillo polinomial en un número finito de variables sobre un campo es un anillo de Hilbert. Una forma general del Nullstellensatz establece que si R es un anillo de Jacobson, entonces también lo es cualquier R -álgebra S generada de forma finita . Por otra parte, la retirada de cualquier maximal ideales J de S es un maximal ideales I de R , y S / J es una extensión finita del campo R / I .
En particular, un morfismo de tipo finito de anillos de Jacobson induce un morfismo de los espectros máximos de los anillos. Esto explica por qué, para las variedades algebraicas sobre campos, a menudo es suficiente trabajar con los ideales máximos en lugar de con todos los ideales primarios, como se hacía antes de la introducción de esquemas. Para anillos más generales, como los anillos locales, ya no es cierto que los morfismos de los anillos induzcan morfismos de los espectros máximos, y el uso de ideales primarios en lugar de ideales máximos proporciona una teoría más limpia.
Ejemplos de
- Cualquier campo es un anillo de Jacobson.
- Cualquier dominio ideal principal o dominio de Dedekind con cero radical de Jacobson es un anillo de Jacobson. En los dominios ideales principales y los dominios de Dedekind, los ideales primos distintos de cero ya son máximos, por lo que lo único que hay que comprobar es si el ideal cero es una intersección de ideales máximos. Pedir que el radical de Jacobson sea cero garantiza esto. En los principales dominios ideales y dominios de Dedekind, el radical de Jacobson se desvanece si y sólo si hay infinitos ideales primarios.
- Cualquier álgebra generada de forma finita sobre un anillo de Jacobson es un anillo de Jacobson. En particular, cualquier álgebra generada finitamente sobre un campo o los números enteros, como el anillo de coordenadas de cualquier conjunto algebraico afín, es un anillo de Jacobson.
- Un anillo local tiene exactamente un ideal máximo, por lo que es un anillo de Jacobson exactamente cuando ese ideal máximo es el único ideal principal. Por lo tanto, cualquier anillo local conmutativo con dimensión de Krull cero es Jacobson, pero si la dimensión de Krull es 1 o más, el anillo no puede ser Jacobson.
- ( Amitsur 1956 ) mostró que cualquier álgebra generada contablemente sobre un campo incontable es un anillo de Jacobson.
- Tate álgebras sobre campos que no son de Arquímedes son anillos de Jacobson.
- Un anillo conmutativo R es un anillo de Jacobson si y solo si R [ x ], el anillo de polinomios sobre R , es un anillo de Jacobson. [1]
Caracterizaciones
Las siguientes condiciones en un anillo conmutativo R son equivalentes:
- R es un anillo de Jacobson
- Todo ideal primo de R es una intersección de ideales máximos.
- Todo ideal radical es una intersección de ideales máximos.
- Cada ideal de Goldman es máximo.
- Cada anillo cociente de R por un ideal primo tiene un radical de Jacobson cero .
- En cada anillo de cociente, el radical cero es igual al radical de Jacobson.
- Cada álgebra generada finitamente sobre R que es un campo se genera finitamente como un módulo R. ( Lema de Zariski )
- Todo ideal primo P de R tal que R / P tenga un elemento x con ( R / P ) [x −1 ] un campo es un ideal primo máximo.
- El espectro de R es un espacio de Jacobson , lo que significa que cada subconjunto cerrado es el cierre del conjunto de puntos cerrados en él.
- (Para anillos noetherianos R ): R no tiene ideales primos P , de manera que R / P es un anillo semilocal unidimensional.
Notas
- ↑ Kaplansky, Teorema 31
Referencias
- Amitsur, Shimshon A. (1956), "Álgebras sobre campos infinitos", Proceedings of the American Mathematical Society , 7 : 35–48, doi : 10.2307 / 2033240 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2033240 , MR 0075933
- Eisenbud, David . Álgebra conmutativa . ISBN 0-387-94269-6.
- Goldman, Oscar (1951), "Hilbert rings and the Hilbert Nullstellensatz", Mathematische Zeitschrift , 54 : 136–140, doi : 10.1007 / BF01179855 , ISSN 0025-5874 , MR 0044510
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : sección 10. doi : 10.1007 / bf02684343 . Señor 0217086 .
- "Jacobson_ring" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Kaplansky, Irving (1974), Anillos conmutativos (edición revisada), University of Chicago Press , ISBN 0-226-42454-5, MR 0345945
- Krull, Wolfgang (1951), "Jacobsonsche Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie", Mathematische Zeitschrift , 54 : 354–387, doi : 10.1007 / BF01238035 , ISSN 0025-5874 , MR 0047622
- Krull, Wolfgang (1952), "Jacobsonsches Radikal und Hilbertscher Nullstellensatz", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Cambridge, Mass., 1950 , 2 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 56–64, MR 0045097 , archivado desde el original en 11/29/2014 , recuperado 01/03/2013