Ha habido varios intentos en la historia de alcanzar una teoría unificada de las matemáticas . Algunos de los más grandes matemáticos han expresado opiniones de que todo el tema debería encajar en una sola teoría.
Perspectiva historica
Se podría considerar que el proceso de unificación ayuda a definir lo que constituye la matemática como disciplina.
Por ejemplo, la mecánica y el análisis matemático se combinaron comúnmente en un tema durante el siglo XVIII, unidos por el concepto de ecuación diferencial ; mientras que el álgebra y la geometría se consideraban en gran medida distintas. Ahora consideramos el análisis, el álgebra y la geometría, pero no la mecánica, como partes de las matemáticas porque son principalmente ciencias formales deductivas , mientras que la mecánica como la física debe proceder de la observación. No hay una pérdida importante de contenido, con la mecánica analítica en el sentido antiguo ahora expresada en términos de topología simpléctica , basada en la nueva teoría de variedades .
Teorías matemáticas
El término teoría se usa informalmente dentro de las matemáticas para referirse a un cuerpo autoconsistente de definiciones , axiomas , teoremas , ejemplos, etc. (Los ejemplos incluyen la teoría de grupos , la teoría de Galois , la teoría de control , y K-teoría ). En particular, no hay ninguna connotación de hipotético . Por tanto, el término teoría unificadora se parece más a un término sociológico utilizado para estudiar las acciones de los matemáticos. Puede que no asuma nada de conjetura que sea análogo a un vínculo científico no descubierto. Realmente no hay nada afín dentro de las matemáticas a conceptos tales como Proto-World en lingüística o la hipótesis de Gaia .
No obstante, ha habido varios episodios dentro de la historia de las matemáticas en los que se descubrió que conjuntos de teoremas individuales eran casos especiales de un solo resultado unificador, o en los que una sola perspectiva sobre cómo proceder al desarrollar un área de las matemáticas podría aplicarse fructíferamente a múltiples ramas del tema.
Teorías geométricas
Un ejemplo bien conocido fue el desarrollo de la geometría analítica , que en manos de matemáticos como Descartes y Fermat demostró que muchos teoremas sobre curvas y superficies de tipos especiales podían enunciarse en lenguaje algebraico (entonces nuevo), cada uno de los cuales podría entonces demostrarse utilizando las mismas técnicas. Es decir, los teoremas eran muy similares algebraicamente, incluso si las interpretaciones geométricas eran distintas.
En 1859 Arthur Cayley inició una unificación de geometrías métricas mediante el uso de las métricas de Cayley-Klein . Más tarde, Felix Klein utilizó tales métricas para proporcionar una base para la geometría no euclidiana .
En 1872, Felix Klein señaló que las muchas ramas de la geometría que se habían desarrollado durante el siglo XIX ( geometría afín , geometría proyectiva , geometría hiperbólica , etc.) podían tratarse de manera uniforme. Hizo esto considerando los grupos bajo los cuales los objetos geométricos eran invariantes. Esta unificación de la geometría se conoce con el nombre de programa Erlangen .
A través de la axiomatización
A principios del siglo XX, muchas partes de las matemáticas comenzaron a tratarse delineando conjuntos útiles de axiomas y luego estudiando sus consecuencias. Así, por ejemplo, los estudios de " números hipercomplejos ", tal como los considera la Quaternion Society , se colocaron sobre una base axiomática como ramas de la teoría de anillos (en este caso, con el significado específico de álgebras asociativas sobre el campo de los números complejos ). En este contexto, el concepto de anillo cociente es uno de los unificadores más poderosos.
Se trataba de un cambio de metodología generalizado, ya que las necesidades de las aplicaciones habían hecho hasta entonces que gran parte de la matemática se enseñara mediante algoritmos (o procesos cercanos a ser algorítmicos). La aritmética todavía se enseña de esa manera. Fue un paralelo al desarrollo de la lógica matemática como una rama independiente de las matemáticas. En la década de 1930, la propia lógica simbólica se incluyó adecuadamente en las matemáticas.
En la mayoría de los casos, los objetos matemáticos en estudio se pueden definir (aunque no canónicamente) como conjuntos o, más informalmente, como conjuntos con estructura adicional, como una operación de suma. La teoría de conjuntos ahora sirve como lengua franca para el desarrollo de temas matemáticos.
Bourbaki
La causa del desarrollo axiomático fue considerada seriamente por el grupo de matemáticos Bourbaki . Llevada al extremo, se pensaba que esta actitud exigía que las matemáticas se desarrollaran en su mayor generalidad. Se partía de los axiomas más generales y luego se especializaba, por ejemplo, introduciendo módulos sobre anillos conmutativos y limitando a espacios vectoriales sobre los números reales solo cuando era absolutamente necesario. La historia procedió de esta manera, incluso cuando las especializaciones eran los teoremas de interés principal.
En particular, esta perspectiva concede poco valor a los campos de las matemáticas (como la combinatoria ) cuyos objetos de estudio son muy a menudo especiales o se encuentran en situaciones que sólo pueden relacionarse superficialmente con ramas más axiomáticas de la materia.
La teoría de categorías como rival
La teoría de categorías es una teoría unificadora de las matemáticas que se desarrolló inicialmente en la segunda mitad del siglo XX. En este sentido, es una alternativa y un complemento a la teoría de conjuntos. Un tema clave desde el punto de vista "categórico" es que las matemáticas requieren no solo ciertos tipos de objetos ( grupos de Lie , espacios de Banach , etc.) sino también mapeos entre ellos que preservan su estructura.
En particular, esto aclara exactamente qué significa que los objetos matemáticos se consideren iguales . (Por ejemplo, ¿son todos los triángulos equiláteros iguales , o el tamaño importa?) Saunders Mac Lane propuso que cualquier concepto con suficiente "ubicuidad" (que ocurra en varias ramas de las matemáticas) merecía ser aislado y estudiado por derecho propio. Podría decirse que la teoría de categorías está mejor adaptada a ese fin que cualquier otro enfoque actual. Las desventajas de apoyarse en los llamados disparates abstractos son una cierta suavidad y abstracción en el sentido de romper con las raíces de problemas concretos. Sin embargo, los métodos de la teoría de categorías han avanzado constantemente en aceptación, en numerosas áreas (desde los módulos D hasta la lógica categórica ).
Uniendo teorías
En una escala menos grande, las similitudes entre conjuntos de resultados en dos ramas diferentes de las matemáticas plantean la cuestión de si existe un marco unificador que pueda explicar los paralelos. Ya hemos señalado el ejemplo de la geometría analítica, y más generalmente el campo de la geometría algebraica desarrolla a fondo las conexiones entre los objetos geométricos ( variedades algebraicas , o más generalmente esquemas ) y los algebraicos ( ideales ); El resultado de la piedra de toque aquí es el Nullstellensatz de Hilbert, que, hablando a grandes rasgos, muestra que existe una correspondencia biunívoca natural entre los dos tipos de objetos.
Se pueden ver otros teoremas bajo la misma luz. Por ejemplo, el teorema fundamental de la teoría de Galois afirma que existe una correspondencia biunívoca entre las extensiones de un campo y los subgrupos del grupo de Galois del campo . La conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas (ahora probada) establece una correspondencia uno a uno entre las curvas definidas como formas modulares y las curvas elípticas definidas sobre los números racionales . Un área de investigación a veces apodada Monstrous Moonshine desarrolló conexiones entre las formas modulares y el grupo simple finito conocido como el Monstruo , comenzando únicamente con la observación sorpresa de que en cada una de ellas surgiría de manera muy natural el número bastante inusual 196884. Otro campo, conocido como el programa Langlands , también parte de similitudes aparentemente fortuitas (en este caso, entre resultados teóricos de números y representaciones de ciertos grupos) y busca construcciones de las cuales ambos conjuntos de resultados serían corolarios.
Lista de referencia de los principales conceptos unificadores
Una breve lista de estas teorías podría incluir:
- Geometría cartesiana
- Cálculo
- Análisis complejo
- Teoría de Galois
- Programa Erlangen
- Grupo de mentiras
- Teoría de conjuntos
- Espacio Hilbert
- Función computable
- Clases de caracteristicas
- Álgebra homológica
- Teoría de la homotopía
- Los esquemas de Grothendieck
- Teoría Topos
- Programa Langlands
- Geometría no conmutativa
Desarrollos recientes en relación con la teoría modular
Un ejemplo bien conocido es la conjetura de Taniyama-Shimura , ahora el teorema de modularidad , que proponía que cada curva elíptica sobre los números racionales se puede traducir a una forma modular (de tal manera que se preserve la función L asociada ). Hay dificultades para identificar esto con un isomorfismo, en el sentido estricto de la palabra. Se sabía que ciertas curvas eran tanto curvas elípticas (del género 1) como curvas modulares , antes de que se formulara la conjetura (alrededor de 1955). La parte sorprendente de la conjetura fue la extensión a los factores de los jacobianos de las curvas modulares del género> 1. Probablemente no parecía plausible que hubiera "suficientes" factores racionales antes de enunciar la conjetura; y de hecho la evidencia numérica fue escasa hasta alrededor de 1970, cuando las tablas empezaron a confirmarlo. El caso de las curvas elípticas con multiplicación compleja fue probado por Shimura en 1964. Esta conjetura se mantuvo durante décadas antes de ser probada en general.
De hecho, el programa (o filosofía) de Langlands se parece mucho más a una red de conjeturas unificadoras; realmente postula que la teoría general de las formas automórficas está regulada por los grupos L introducidos por Robert Langlands . Su principio de funcionalidad con respecto al grupo L tiene un valor explicativo muy grande con respecto a los tipos conocidos de levantamiento de formas automórficas (ahora más ampliamente estudiadas como representaciones automórficas ). Si bien esta teoría está, en cierto sentido, estrechamente relacionada con la conjetura de Taniyama-Shimura, debe entenderse que la conjetura en realidad opera en la dirección opuesta. Requiere la existencia de una forma automórfica, comenzando con un objeto que (de manera muy abstracta) se encuentra en una categoría de motivos .
Otro punto relacionado significativo es que el enfoque de Langlands se distingue de todo el desarrollo activado por luz de la luna monstruosa (conexiones entre las funciones elípticas modulares como las series de Fourier , y las representaciones de grupo del grupo del monstruo y otros grupos esporádicos ). La filosofía Langlands no presagió ni pudo incluir esta línea de investigación.
Conjeturas de isomorfismo en la teoría K
Otro caso, que hasta ahora es menos bien desarrollado, sino que abarca una amplia gama de las matemáticas, es la base conjetural de algunas partes de K-teoría . La conjetura de Baum-Connes , ahora un problema de larga data, se han unido a otros en un grupo conocido como las conjeturas de isomorfismo en la K-teoría . Estos incluyen la conjetura de Farrell-Jones y la conjetura de Bost .
Ver también
- Filosofía de las matemáticas
- Fundamentos de las matemáticas