En geometría algebraica , un morfismo étale ( francés: [etal] ) es un morfismo de esquemas que es formalmente étale y localmente de presentación finita. Este es un análogo algebraico de la noción de isomorfismo local en la topología analítica compleja. Satisfacen las hipótesis del teorema de la función implícita , pero debido a que los conjuntos abiertos en la topología de Zariski son tan grandes, no son necesariamente isomorfismos locales. A pesar de esto, los mapas de étale conservan muchas de las propiedades de los isomorfismos analíticos locales y son útiles para definir el grupo fundamental algebraico y la topología de étale .
La palabra étale es un adjetivo francés , que significa "flojo", como en "marea floja", o, en sentido figurado, tranquilo, inmóvil, algo que se dejó reposar. [1]
Definición
Dejar ser un homomorfismo de anillo . Esto hace un -álgebra. Elija un polinomio monico en y un polinomio en tal que la derivada de es una unidad en . Nosotros decimos esoes étale estándar si y puede ser elegido para que es isomorfo como un -álgebra a y es el mapa canónico.
Dejar ser un morfismo de esquemas . Nosotros decimos esoes étale si y solo si tiene alguna de las siguientes propiedades equivalentes:
- es plano y sin ramificar . [2]
- es un morfismo suave y sin ramificar. [2]
- es plano, localmente de presentación finita , y para cada en , la fibra es la unión disjunta de puntos, cada uno de los cuales es el espectro de un campo finito separable extensión del campo de residuos . [2]
- es plano, localmente de presentación finita, y para cada en y cada cierre algebraico del campo de residuos , la fibra geométrica es la unión disjunta de puntos, cada uno de los cuales es isomorfo a . [2]
- es un morfismo suave de dimensión relativa cero. [3]
- es un morfismo suave y un morfismo cuasi-finito local . [4]
- es localmente de presentación finita y es localmente un morfismo étale estándar, es decir,
- Para cada en , dejar . Luego hay un vecindario afín abierto Spec R de y un vecindario afín abierto Spec S de tal que f (Spec S ) está contenida en Spec R y tal que el homomorfismo de anillo R → S inducido por es étale estándar. [5]
- es localmente de presentación finita y formalmente étale . [2]
- es localmente de presentación finita y formalmente étale para mapas de anillos locales, es decir:
- Sea A un anillo local y J un ideal de A tal que J 2 = 0 . Establezca Z = Spec A y Z 0 = Spec A / J , y sea i : Z 0 → Z la inmersión cerrada canónica. Sea z el punto cerrado de Z 0 . Sean h : Z → Y y g 0 : Z 0 → X morfismos tales que f ( g 0 ( z )) = h ( i ( z )) . Entonces existe un morfismo Y único g : Z → X tal que gi = g 0 . [6]
Asumir que es localmente noetheriano y f es localmente de tipo finito. Para en , dejar y deja ser el mapa inducido en anillos locales completados . Entonces los siguientes son equivalentes:
- es étale.
- Para cada en , el mapa inducido en anillos locales completados es formalmente étale para la topología ádica. [7]
- Para cada en , es gratis -módulo y la fibra es un campo que es una extensión de campo finito separable del campo de residuos . [7] (Aquí es el ideal máximo de .)
- f es formalmente étale para mapas de anillos locales con las siguientes propiedades adicionales. El anillo local A puede asumirse artiniano. Si m es el ideal máximo de A , entonces se puede suponer que J satisface mJ = 0 . Finalmente, se puede suponer que el morfismo en los campos de residuos κ ( y ) → A / m es un isomorfismo. [8]
Si además todos los mapas de campos de residuos son isomorfismos, o si está cerrado separablemente, entonces es étale si y solo si para cada en , el mapa inducido en anillos locales completados es un isomorfismo. [7]
Ejemplos de
Cualquier inmersión abierta es étale porque localmente es un isomorfismo.
Cubrir espacios forman ejemplos de morfismos étale. Por ejemplo, si es un entero invertible en el anillo luego
es un grado morfismo étale.
Cualquier cubierta ramificada tiene un locus sin ramificar
que es étale.
Morfismos
inducidas por extensiones de campo separables finitas son étale: forman espacios de cobertura aritmética con grupos de transformaciones de cubierta dadas por.
Cualquier homomorfismo de anillo de la forma , donde todo el son polinomios, y donde el determinante jacobiano es una unidad en , es étale. Por ejemplo el morfismo es etale y corresponde a un grado cubriendo el espacio de con el grupo de transformaciones de cubierta.
Ampliando el ejemplo anterior, supongamos que tenemos un morfismo de variedades algebraicas complejas suaves. Desdeestá dado por ecuaciones, podemos interpretarlo como un mapa de variedades complejas. Siempre que el jacobiano de es distinto de cero, es un isomorfismo local de variedades complejas por el teorema de la función implícita . En el ejemplo anterior, tener un jacobiano distinto de cero es lo mismo que ser étale.
Dejar ser un morfismo dominante de tipo finito con X , Y localmente noetheriano, irreductible e Y normal. Si f no está ramificado , entonces es étale. [9]
Para un campo K , cualquier K- álgebra A es necesariamente plana. Por lo tanto, A es un álgebra de etale si y solo si no está ramificada, lo que también es equivalente a
dónde es el cierre separable del campo K y el lado derecho es una suma directa finita, todos cuyos sumandos son. Esta caracterización de etale K -álgebras es un trampolín en la reinterpretación de la teoría clásica de Galois (ver la teoría de Galois de Grothendieck ).
Propiedades
- Los morfismos de Étale se conservan bajo cambio de composición y base.
- Los morfismos de Étale son locales en la fuente y en la base. En otras palabras, es étale si y solo si para cada cobertura de por subesquemas abiertos la restricción de a cada uno de los subesquemas abiertos de la cubierta es étale, y también si y sólo si para cada cubierta de por subesquemas abiertos los morfismos inducidos es étale para cada subesquema de la cubierta. En particular, es posible probar la propiedad de ser étale en afines abiertos.
- El producto de una familia finita de morfismos étale es étale.
- Dada una familia finita de morfismos , la unión disjunta es étale si y solo si cada es étale.
- Dejar y y asumir que es unramificado y es étale. Luegoes étale. En particular, si y se acabó el cuento , entonces cualquiera -morfismo entre y es étale.
- Los morfismos étale cuasi-compactos son cuasi-finitos .
- Un morfismo es una inmersión abierta si y solo si es étale y radicial . [10]
- Si es étale y sobrejective, entonces (finito o no).
Teorema de la función inversa
Morfismos de étale
- f : X → Y
son la contraparte algebraica de los difeomorfismos locales . Más precisamente, un morfismo entre variedades suaves es étale en un punto si el diferencial entre los espacios tangentes correspondientes es un isomorfismo. Ésta es, a su vez, precisamente la condición necesaria para asegurar que un mapa entre variedades sea un difeomorfismo local, es decir, para cualquier punto y ∈ Y , hay una vecindad abierta U de x tal que la restricción de f a U es un difeomorfismo. Esta conclusión no es válida en geometría algebraica, porque la topología es demasiado burda. Por ejemplo, considere la proyección f de la parábola
- y = x 2
al eje y . Este morfismo es étale en todos los puntos excepto en el origen (0, 0), porque el diferencial está dado por 2 x , que no desaparece en estos puntos.
Sin embargo, no hay ( Zariski- ) inverso local de f , solo porque la raíz cuadrada no es un mapa algebraico , no está dada por polinomios. Sin embargo, existe una solución para esta situación, utilizando la topología étale. La declaración precisa es la siguiente: sies étale y finite, entonces para cualquier punto y que se encuentra en Y , hay un morfismo étale V → Y que contiene y en su imagen ( se puede pensar en V como una vecindad étale abierta de y ), de modo que cuando basamos el cambio f a V , entonces(el primer miembro sería el pre-imagen de V por f si V fuera un entorno abierto Zariski) es una unión disjunta finito de subconjuntos abiertos isomorfo a V . En otras palabras, étale-localmente en Y , el morfismo f es una cubierta finita topológica.
Para un morfismo suave de dimensión relativa n , étale-localmente en X y en Y , f es una inmersión abierta en un espacio afín. Ésta es la versión analógica étale del teorema de la estructura de las inmersiones .
Ver también
- Pureza (geometría algebraica)
Referencias
- ^ fr: Trésor de la langue française informatisé , artículo "étale"
- ^ a b c d e EGA IV 4 , Corollaire 17.6.2.
- ^ EGA IV 4 , Corollaire 17.10.2.
- ^ EGA IV 4 , Corollaire 17.6.2 y Corollaire 17.10.2.
- ^ Milne, cohomología de Étale , teorema 3.14.
- ↑ EGA IV 4 , Corollaire 17.14.1.
- ^ a b c EGA IV 4 , Proposición 17.6.3
- ^ EGA IV 4 , Proposición 17.14.2
- ↑ SGA1, Exposé I, 9.11
- ↑ EGA IV 4 , Théorème 17.9.1.
Bibliografía
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Grothendieck, Alexandre ; Jean Dieudonné (1964), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés con la colaboración de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 20 : 5–259, doi : 10.1007 / bf02684747 , S2CID 118147570
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1964), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés con la colaboración de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 20 : 5–259 , doi : 10.1007 / bf02684747 , S2CID 118147570
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés con la colaboración de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5-333 , doi : 10.1007 / BF02732123 , S2CID 189794756
- Grothendieck, Alexandre ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , París: Société Mathématique de France, xviii + 327, arXiv : matemáticas.AG / 0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
- JS Milne (1980), Étale cohomology , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3
- JS Milne (2008). Conferencias sobre Cohomología Etale