En matemáticas , la teoría de Galois de Grothendieck es un enfoque abstracto de la teoría de campos de Galois , desarrollada alrededor de 1960 para proporcionar una forma de estudiar el grupo fundamental de topología algebraica en el contexto de la geometría algebraica . Proporciona, en el marco clásico de la teoría de campo , una perspectiva alternativa a la de Emil Artin basada en el álgebra lineal , que se convirtió en estándar desde aproximadamente la década de 1930.
El enfoque de Alexander Grothendieck se ocupa de las propiedades teóricas de categorías que caracterizan las categorías de conjuntos G finitos para un grupo G fijo profinito . Por ejemplo, G podría ser el grupo denotado, que es el límite inverso de los grupos aditivos cíclicos Z / n Z - o, de manera equivalente, la finalización del grupo cíclico infinito Z para la topología de subgrupos de índice finito . A finito G -set es entonces un conjunto finito X en la que G actúa a través de un grupo cíclico cociente finito, de modo que se especifica dando alguna permutación de X .
En el ejemplo anterior, se puede ver una conexión con la teoría clásica de Galois al considerarcomo el grupo de Galois profinito Gal ( F / F) de la clausura algebraica F de cualquier campo finito F , más de F . Es decir, los automorfismos de F fijación F se describen por el límite inverso, mientras tomamos finitos vez más grandes cuerpo de descomposición más F . La conexión con la geometría se puede ver cuando miramos los espacios de cobertura del disco unitario en el plano complejo con el origen eliminado: la cobertura finita realizada por el mapa z n del disco, pensado por medio de una variable de número complejo z , corresponde al subgrupo n . Z del grupo fundamental del disco perforado.
La teoría de Grothendieck, publicada en SGA1 , muestra cómo reconstruir la categoría de G -sets a partir de un funtor de fibra Φ, que en el escenario geométrico toma la fibra de una cubierta por encima de un punto base fijo (como un conjunto). De hecho hay un isomorfismo probado del tipo
- G ≅ Aut (Φ),
siendo este último el grupo de automorfismos ( equivalencias naturales propias ) de Φ. Se da una clasificación abstracta de categorías con un funtor para la categoría de conjuntos, mediante la cual se pueden reconocer categorías de G -sets para G profinita.
Para ver cómo se aplica esto al caso de los campos, hay que estudiar el producto tensorial de los campos . En la teoría de los topos , esto es parte del estudio de los topos atómicos .
Ver también
Referencias
- Grothendieck, A .; et al. (1971). SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960-1961 '. Apuntes de clase en matemáticas. 224 . SpringerSphiwe Verlag. arXiv : matemáticas / 0206203 . ISBN 978-3-540-36910-3.
- Joyal, André; Tierney, Myles (1984). Una extensión de la teoría de Galois de Grothendieck . Memorias de la American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2312-4.
- Borceux, F .; Janelidze, G. (2001). Teorías de Galois . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-80309-8.(Este libro presenta al lector la teoría de Galois de Grothendieck y algunas generalizaciones que conducen a los grupos de Galois ).
- Szamuely, T. (2009). Grupos Galois y Grupos Fundamentales . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-139-48114-4.
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- Caramello, Olivia (2016). "Teoría topológica de galois" . Avances en Matemáticas . 291 : 646–695. doi : 10.1016 / j.aim.2015.11.050 .