En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una gavilla previa en una categoríaes un functor . Sies el conjunto de conjuntos abiertos en un espacio topológico , interpretado como una categoría, luego se recupera la noción habitual de pregajo en un espacio topológico.
Un morfismo de prehecho se define como una transformación natural de los functores. Esto hace que la recopilación de todos losen una categoría, y es un ejemplo de una categoría de functor . A menudo se escribe como. Un functor ena veces se le llama profunctor .
Una gavilla que es naturalmente isomórfica al hom-functor contravariante Hom (-, A ) para algún objeto A de C se llama una gavilla representable .
Algunos autores se refieren a un functor como un -pregañada valorada . [1]
Ejemplos de
- Un conjunto simplicial es un conjunto -valued prehaz en la categoría simplex .
Propiedades
- Cuándo es una categoría pequeña , la categoría functores cartesiano cerrado .
- El conjunto parcialmente ordenado de subobjetos deformar un álgebra de Heyting , siempre que es un objeto de Para pequeños .
- Por cualquier morfismo de , el functor de retroceso de los subobjetos tiene un adjunto derecho, denotado , y un adjunto izquierdo, . Estos son los cuantificadores universales y existenciales.
- Una categoría localmente pequeña se integra completa y fielmente en la categoría de pretensiones con valores establecidos a través de la incrustación de Yoneda que a cada objeto de asocia el functor hom .
- La categoría admite pequeños límites y pequeños colimits. [2] Ver límite y colimit de pre - despegue para mayor discusión.
- El teorema de la densidad establece que cada pregañado es un colímite de prehojas representables; De hecho,es la finalización colimit de(ver propiedad #Universal a continuación).
Propiedad universal
La construcción se denomina finalización colimit de C debido a la siguiente propiedad universal:
Proposición [3] - Sean C , D categorías y suponga que D admite pequeños colimits. Entonces cada functor factoriza como
donde y es la incrustación de Yoneda yes un único hasta el isomorfismo, functor preservador de colimit llamado la extensión Yoneda de.
Demostración : Dada una F antes de la gavilla , según el teorema de la densidad , podemos escribir dónde son objetos en C . Entonces dejaque existe por suposición. Desde es functorial, esto determina el functor . Sucintamente,es la extensión Kan izquierda dea lo largo de y ; de ahí el nombre "extensión Yoneda". Para ver desplazamientos con pequeños colimits, mostramos es un adjunto a la izquierda (para algún functor). Definirser el funtor dado por: para cada objeto M en D y cada objeto U en C ,
Entonces, para cada objeto M en D , ya que por el lema de Yoneda, tenemos:
que es decir es un adjunto a la izquierda de .
La proposición arroja varios corolarios. Por ejemplo, la proposición implica que la construcción es functorial: es decir, cada functor determina el functor .
Variantes
Un conjunto de espacios en una categoría ∞ C es un funtor contravariante de C a la categoría ∞ de espacios (por ejemplo, el nervio de la categoría de complejos CW ). [4] Es una versión de categoría ∞ de un pregajo de conjuntos, ya que un "conjunto" se sustituye por un "espacio". La noción se usa, entre otras cosas, en la formulación de la categoría ∞ del lema de Yoneda que dice:es completamente fiel (aquí C puede ser solo un conjunto simple ). [5]
Ver también
- Topos
- Categoría de elementos
- Pregavilla simple (esta noción se obtiene reemplazando "conjunto" por "conjunto simplicial")
- Preheaf con transferencias
Notas
- ^ lema co-Yoneda en nLab
- ^ Kashiwara y Schapira 2005 , Corolario 2.4.3.
- ^ Kashiwara y Schapira 2005 , Proposición 2.7.1.
- ^ Lurie , definición 1.2.16.1.
- ^ Lurie , Proposición 5.1.3.1.
Referencias
- Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2005). Categorías y gavillas . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 332 . Saltador. ISBN 978-3-540-27950-1.
- Lurie, J. Teoría de Topos superior .
- Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992). Gavillas en Geometría y Lógica . Saltador. ISBN 0-387-97710-4.
Otras lecturas
- Preheaf en nLab
- Cocompletado gratuito en nLab
- Daniel Dugger, Sheaves and Homotopy Theory , el archivo pdf proporcionado por nlab.