En matemáticas, los grupos de trialidad de Steinberg de tipo 3 D 4 forman una familia de grupos de Chevalley retorcidos o de Steinberg . Son formas cuasi-divididas de D 4 , dependiendo de una extensión cúbica de Galois de campos K ⊂ L , y usando el automorfismo de trialidad del diagrama de Dynkin D 4 . Desafortunadamente, la notación para el grupo no está estandarizada, ya que algunos autores lo escriben como 3 D 4 ( K ) (pensando en 3 D 4 como un grupo algebraico tomando valores en K ) y algunos como 3 D 4 ( L ) (pensando en el grupo como un subgrupo de D 4 ( L ) fijado por un automorfismo exterior de orden 3). El grupo 3 D 4 es muy similar a un grupo ortogonal o de espín en dimensión 8.
Sobre campos finitos, estos grupos forman una de las 18 familias infinitas de grupos simples finitos , y fueron introducidos por Steinberg (1959) . Fueron descubiertos de forma independiente por Jacques Tits en Tits (1958) y Tits (1959) .
El grupo algebraico dividido simplemente conectado de tipo D 4 tiene un automorfismo de trialidad σ de orden 3 que proviene de un automorfismo de orden 3 de su diagrama de Dynkin. Si L es un campo con un automorfismo τ de orden 3, entonces éste indujo un automorfismo τ de orden 3 del grupo D 4 ( L ). El grupo 3 D 4 ( L ) es el subgrupo de D 4 ( L ) de puntos fijados por στ. Tiene tres representaciones de 8 dimensiones sobre el campo L , permutadas por el automorfismo exterior τ de orden 3.
El grupo 3 D 4 ( q 3 ) tiene orden q 12 ( q 8 + q 4 + 1) ( q 6 − 1) ( q 2 − 1). A modo de comparación, el grupo de espín dividido D 4 ( q ) en la dimensión 8 tiene un orden de q 12 ( q 8 − 2 q 4 + 1) ( q 6 − 1) ( q 2 − 1) y el grupo de espín casi dividido 2 D 4 ( q 2) en dimensión 8 tiene orden q 12 ( q 8 − 1) ( q 6 − 1) ( q 2 − 1).
El grupo 3 D 4 ( q 3 ) es siempre simple . El multiplicador de Schur siempre es trivial. El grupo de automorfismos exterior es cíclico de orden f donde q 3 = p f y p es primo .
El miembro más pequeño de esta familia de grupos tiene varias propiedades excepcionales que no comparten otros miembros de la familia. Tiene orden 211341312 = 2 12 ⋅3 4 ⋅7 2 ⋅13 y grupo de automorfismo externo de orden 3.