En matemáticas , específicamente en la teoría de grupos , la frase grupo de tipo Lie generalmente se refiere a grupos finitos que están estrechamente relacionados con el grupo de puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductivo con valores en un campo finito . La frase grupo de tipo Lie no tiene una definición precisa ampliamente aceptada, [1] pero la importante colección de grupos finitos simples de tipo Lie tiene una definición precisa, y constituyen la mayoría de los grupos en la clasificación de grupos simples finitos .
El nombre "grupos de tipo Lie" se debe a la estrecha relación con los grupos de Lie (infinitos) , ya que un grupo de Lie compacto puede verse como los puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductor sobre el campo de los números reales . Dieudonné (1971) y Carter (1989) son referencias estándar para grupos de tipo Lie.
Grupos clásicos
Una aproximación inicial a esta cuestión fue la definición y el estudio detallado de los llamados grupos clásicos sobre campos finitos y otros por Jordan (1870) . Estos grupos fueron estudiados por LE Dickson y Jean Dieudonné . Emil Artin investigó las órdenes de dichos grupos, con el fin de clasificar los casos de coincidencia.
Un grupo clásico es, en términos generales, un grupo especial lineal , ortogonal , simpléctico o unitario . Hay varias variaciones menores de estos, dadas tomando subgrupos derivados o cocientes centrales , los últimos produciendo grupos lineales proyectivos . Pueden construirse sobre campos finitos (o cualquier otro campo) de la misma manera que se construyen sobre los números reales. Corresponden a las series A n , B n , C n , D n , 2 A n , 2 D n de los grupos Chevalley y Steinberg.
Grupos de Chevalley
Los grupos de Chevalley se pueden considerar como grupos de Lie sobre campos finitos. La teoría fue aclarada por la teoría de grupos algebraicos , y el trabajo de Chevalley ( 1955 ) sobre álgebras de Lie, mediante el cual se aisló el concepto de grupo de Chevalley . Chevalley construyó una base de Chevalley (una especie de forma integral pero sobre campos finitos) para todas las álgebras de Lie simples complejas (o más bien de sus álgebras envolventes universales ), que se pueden usar para definir los grupos algebraicos correspondientes sobre los números enteros. En particular, podría tomar sus puntos con valores en cualquier campo finito. Para las álgebras de Lie A n , B n , C n , D n esto dio grupos clásicos bien conocidos, pero su construcción también dio grupos asociados a las excepcionales álgebras de Lie E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 . Los de tipo G 2 (a veces llamados grupos de Dickson ) ya habían sido construidos por Dickson (1905) , y los de tipo E 6 por Dickson (1901) .
Grupos de Steinberg
La construcción de Chevalley no dio todos los grupos clásicos conocidos: omitió los grupos unitarios y los grupos ortogonales no divididos . Steinberg (1959) encontró una modificación de la construcción de Chevalley que dio a estos grupos y dos nuevas familias 3 D 4 , 2 E 6 , la segunda de las cuales fue descubierta aproximadamente al mismo tiempo desde un punto de vista diferente por Tits (1958) . Esta construcción generaliza la construcción habitual del grupo unitario del grupo lineal general.
El grupo unitario surge de la siguiente manera: el grupo lineal general sobre los números complejos tiene un automorfismo de diagrama dado al invertir el diagrama de Dynkin A n (que corresponde a tomar la transpuesta inversa), y un automorfismo de campo dado al tomar conjugación compleja , que conmuta. El grupo unitario es el grupo de puntos fijos del producto de estos dos automorfismos.
De la misma manera, muchos grupos de Chevalley tienen automorfismos de diagrama inducidos por automorfismos de sus diagramas de Dynkin y automorfismos de campo inducidos por automorfismos de un campo finito. De manera análoga al caso unitario, Steinberg construyó familias de grupos tomando puntos fijos de un producto de un diagrama y un automorfismo de campo.
Estos dieron:
- los grupos unitarios 2 A n , del automorfismo de orden 2 de A n ;
- otros grupos ortogonales 2 D n , del automorfismo de orden 2 de D n ;
- la nueva serie 2 E 6 , del automorfismo de orden 2 de E 6 ;
- la nueva serie 3 D 4 , del automorfismo de orden 3 de D 4 .
Los grupos de tipo 3 D 4 no tienen análogo sobre los reales, ya que los números complejos no tienen automorfismo de orden 3. [ aclaración necesaria ] Las simetrías del diagrama D 4 también dan lugar a trialidad .
Grupos de Suzuki – Ree
Suzuki ( 1960 ) encontró una nueva serie infinita de grupos que a primera vista parecían no tener relación con los grupos algebraicos conocidos. Ree ( 1960 , 1961 ) sabía que el grupo algebraico B 2 tenía un automorfismo "extra" en la característica 2 cuyo cuadrado era el automorfismo de Frobenius . Descubrió que si un campo finito de característica 2 también tiene un automorfismo cuyo cuadrado era el mapa de Frobenius, entonces un análogo de la construcción de Steinberg dio los grupos de Suzuki. Los campos con tal automorfismo son los de orden 2 2 n +1 , y los grupos correspondientes son los grupos de Suzuki
- 2 B 2 (2 2 n +1 ) = Suz (2 2 n +1 ).
(Estrictamente hablando, el grupo Suz (2) no se cuenta como un grupo Suzuki ya que no es simple: es el grupo Frobenius de orden 20.) Ree pudo encontrar dos nuevas familias similares.
- 2 F 4 (2 2 norte +1 )
y
- 2 G 2 (3 2 n +1 )
de grupos simples utilizando el hecho de que F 4 y G 2 tienen automorfismos adicionales en la característica 2 y 3. (En términos generales, en la característica p se permite ignorar la flecha sobre enlaces de multiplicidad p en el diagrama de Dynkin cuando se toman automorfismos de diagrama. ) El grupo más pequeño 2 F 4 (2) de tipo 2 F 4 no es simple, pero tiene un subgrupo simple de índice 2, llamado grupo de Tits (llamado así por el matemático Jacques Tits ). El grupo más pequeño 2 G 2 (3) de tipo 2 G 2 no es simple, pero tiene un subgrupo normal simple de índice 3, isomorfo a A 1 (8). En la clasificación de grupos simples finitos , los grupos Ree
- 2 G 2 (3 2 n +1 )
son aquellos cuya estructura es más difícil de precisar explícitamente. Estos grupos también jugaron un papel en el descubrimiento del primer grupo esporádico moderno. Tienen centralizadores de involución de la forma Z / 2 Z × PSL (2, q ) para q = 3 n , y al investigar grupos con un centralizador de involución de la forma similar Z / 2 Z × PSL (2, 5) Janko encontró el grupo esporádico J 1 .
Los grupos de Suzuki son los únicos grupos simples finitos no abelianos con orden no divisible por 3. Tienen orden 2 2 (2 n +1) (2 2 (2 n +1) + 1) (2 (2 n +1) - 1).
Relaciones con grupos simples finitos
Los grupos finitos de tipo Lie estuvieron entre los primeros grupos en ser considerados en matemáticas, después de los grupos cíclicos , simétricos y alternos , con los grupos lineales especiales proyectivos sobre campos finitos primos, PSL (2, p ) siendo construido por Évariste Galois en la década de 1830. La exploración sistemática de grupos finitos de tipo Lie comenzó con el teorema de Camille Jordan de que el grupo lineal especial proyectivo PSL (2, q ) es simple para q ≠ 2, 3. Este teorema se generaliza a grupos proyectivos de dimensiones superiores y da una importante familia infinita PSL ( n , q ) de grupos simples finitos . Otros grupos clásicos fueron estudiados por Leonard Dickson a principios del siglo XX. En la década de 1950, Claude Chevalley se dio cuenta de que después de una reformulación adecuada, muchos teoremas sobre grupos de Lie semisimplejos admiten análogos de grupos algebraicos sobre un campo arbitrario k , lo que lleva a la construcción de lo que ahora se llaman grupos de Chevalley . Además, como en el caso de los grupos de Lie simples compactos, los grupos correspondientes resultaron ser casi simples como grupos abstractos ( teorema de simplicidad de Tits ). Aunque se sabía desde el siglo XIX que existen otros grupos simples finitos (por ejemplo, los grupos de Mathieu ), gradualmente se formó la creencia de que casi todos los grupos simples finitos pueden explicarse por extensiones apropiadas de la construcción de Chevalley, junto con grupos cíclicos y alternos. Además, las excepciones, los grupos esporádicos , comparten muchas propiedades con los grupos finitos de tipo Lie y, en particular, pueden construirse y caracterizarse en función de su geometría en el sentido de Tits.
La creencia se ha convertido ahora en un teorema: la clasificación de grupos simples finitos . La inspección de la lista de grupos simples finitos muestra que los grupos de tipo Lie sobre un campo finito incluyen todos los grupos simples finitos distintos de los grupos cíclicos, los grupos alternos, el grupo de Tits y los 26 grupos simples esporádicos .
Pequeños grupos de tipo Lie
En general, el grupo finito asociado a un endomorfismo de un grupo algebraico simple simplemente conectado es la extensión central universal de un grupo simple, por lo que es perfecto y tiene un multiplicador de Schur trivial . Sin embargo, algunos de los grupos más pequeños de las familias anteriores no son perfectos o tienen un multiplicador de Schur mayor de lo "esperado".
Los casos en los que el grupo no es perfecto incluyen
- A 1 (2) = SL (2, 2) Resoluble de orden 6 (el grupo simétrico en 3 puntos)
- A 1 (3) = SL (2, 3) Resoluble de orden 24 (una doble tapa del grupo alterno sobre 4 puntos)
- 2 A 2 (4) Soluble
- B 2 (2) No es perfecto, pero es isomorfo al grupo simétrico en 6 puntos, por lo que su subgrupo derivado tiene un índice 2 y es simple de orden 360.
- 2 B 2 (2) = Suz (2) Resoluble de orden 20 (un grupo de Frobenius)
- 2 F 4 (2) No es perfecto, pero el grupo derivado tiene un índice 2 y es el grupo de Tetas simple .
- G 2 (2) No perfecto, pero el grupo derivado tiene índice 2 y es simple de orden 6048.
- 2 G 2 (3) No es perfecto, pero el grupo derivado tiene un índice 3 y es el grupo simple de orden 504.
Algunos casos en los que el grupo es perfecto pero tiene un multiplicador de Schur más grande de lo esperado incluyen:
- A 1 (4) El multiplicador de Schur tiene un Z / 2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene un orden 2 en lugar de 1.
- A 1 (9) El multiplicador de Schur tiene un Z / 3 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene el orden 6 en lugar de 2.
- A 2 (2) El multiplicador de Schur tiene un Z / 2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene el orden 2 en lugar de 1.
- A 2 (4) El multiplicador de Schur tiene un Z / 4 Z × Z / 4 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene un orden 48 en lugar de 3.
- A 3 (2) El multiplicador de Schur tiene un Z / 2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene el orden 2 en lugar de 1.
- B 3 (2) = C 3 (2) El multiplicador de Schur tiene un Z / 2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene el orden 2 en lugar de 1.
- B 3 (3) El multiplicador de Schur tiene un Z / 3 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene el orden 6 en lugar de 2.
- D 4 (2) El multiplicador de Schur tiene un Z / 2 Z × Z / 2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene un orden 4 en lugar de 1.
- F 4 (2) El multiplicador de Schur tiene un Z / 2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene el orden 2 en lugar de 1.
- G 2 (3) El multiplicador de Schur tiene un Z / 3 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene un orden 3 en lugar de 1.
- G 2 (4) El multiplicador de Schur tiene un Z / 2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene un orden 2 en lugar de 1.
- 2 A 3 (4) El multiplicador de Schur tiene un Z / 2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene el orden 2 en lugar de 1.
- 2 A 3 (9) El multiplicador de Schur tiene un Z / 3 Z × Z / 3 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene el orden 36 en lugar de 4.
- 2 A 5 (4) El multiplicador de Schur tiene un Z / 2 Z × Z / 2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene un orden 12 en lugar de 3.
- 2 E 6 (4) El multiplicador de Schur tiene un Z / 2 Z × Z / 2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene un orden 12 en lugar de 3.
- 2 B 2 (8) El multiplicador de Schur tiene un Z / 2 Z × Z / 2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene un orden 4 en lugar de 1.
Existe un número asombroso de isomorfismos "accidentales" entre varios pequeños grupos de tipo Lie (y grupos alternos). Por ejemplo, los grupos SL (2, 4), PSL (2, 5) y el grupo alterno en 5 puntos son todos isomorfos.
Para obtener una lista completa de estas excepciones, consulte la lista de grupos simples finitos . Muchas de estas propiedades especiales están relacionadas con ciertos grupos simples esporádicos.
Los grupos alternos a veces se comportan como si fueran grupos de tipo Lie sobre el campo con un elemento . Algunos de los pequeños grupos alternos también tienen propiedades excepcionales. Los grupos alternos generalmente tienen un grupo de automorfismo externo de orden 2, pero el grupo alterno en 6 puntos tiene un grupo de automorfismo externo de orden 4 . Los grupos alternos suelen tener un multiplicador de Schur de orden 2, pero los de 6 o 7 puntos tienen un multiplicador de Schur de orden 6 .
Problemas de notación
No existe una notación estándar para los grupos finitos de tipo Lie, y la literatura contiene docenas de sistemas de notación incompatibles y confusos para ellos.
- El grupo simple PSL ( n , q ) no suele ser el mismo que el grupo PSL ( n , F q ) de puntos valorados con F q del grupo algebraico PSL ( n ). El problema es que un mapa sobreyectivo de grupos algebraicos como SL ( n ) → PSL ( n ) no induce necesariamente un mapa sobreyectivo de los grupos correspondientes con valores en algún campo (no algebraicamente cerrado). Existen problemas similares con los puntos de otros grupos algebraicos con valores en campos finitos.
- Los grupos de tipo A n −1 a veces se denotan por PSL ( n , q ) (el grupo lineal especial proyectivo) o por L ( n , q ).
- Los grupos de tipo C n a veces se denotan por Sp (2 n , q ) (el grupo simpléctico) o (confusamente) por Sp ( n , q ).
- La notación para grupos de tipo D n (grupos "ortogonales") es particularmente confusa. Algunos símbolos utilizados son O ( n , q ), O - ( n , q ), PSO ( n , q ), Ω n ( q ), pero hay tantas convenciones que no es posible decir exactamente a qué grupos corresponden. a sin que se especifique explícitamente. La fuente del problema es que el grupo simple no es el grupo ortogonal O, ni el grupo ortogonal especial proyectivo PSO, sino más bien un subgrupo de PSO, [2] que por lo tanto no tiene una notación clásica. Una trampa particularmente desagradable es que algunos autores, como el ATLAS , usan O ( n , q ) para un grupo que no es el grupo ortogonal, sino el grupo simple correspondiente. Jean Dieudonné introdujo la notación Ω, PΩ , aunque su definición no es simple para n ≤ 4 y, por lo tanto, se puede usar la misma notación para un grupo ligeramente diferente, que coincide en n ≥ 5 pero no en una dimensión inferior. [2]
- Para los grupos de Steinberg, algunos autores escriben 2 A n ( q 2 ) (y así sucesivamente) para el grupo que otros autores denotan por 2 A n ( q ). El problema es que hay dos campos involucrados, uno de orden q 2 , y su campo fijo de orden q , y la gente tiene ideas diferentes sobre las que deberían incluirse en la notación. La convención " 2 A n ( q 2 )" es más lógica y consistente, pero la convención " 2 A n ( q )" es mucho más común y está más cerca de la convención para grupos algebraicos .
- Los autores difieren en si grupos como A n ( q ) son los grupos de puntos con valores en el grupo algebraico simple o simplemente conectado. Por ejemplo, A n ( q ) puede significar el grupo lineal especial SL ( n +1, q ) o el grupo lineal especial proyectivo PSL ( n +1, q ). Entonces, 2 A 2 (4) puede ser cualquiera de 4 grupos diferentes, dependiendo del autor.
Ver también
- Teoría de Deligne-Lusztig
- Álgebra de Lie modular
Notas
- ^ https://liesgorsureshedoes.net
- ↑ a b ATLAS , pág. xi
Referencias
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- Chevalley, Claude (1955), "Sur certains groupes simples", The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 7 (1–2): 14–66, doi : 10.2748 / tmj / 1178245104 , ISSN 0040-8735 , MR 0073602
- Dickson, Leonard Eugene (1901b), "Teoría de grupos lineales en un campo arbitrario", Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 2 (4): 363–394, doi : 10.1090 / S0002-9947 -1901-1500573-3 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1986251 , Reimpreso en el volumen II de sus artículos recopilados
- Dickson, Leonard Eugene (1901), "Una clase de grupos en un ámbito arbitrario relacionado con la configuración de las 27 líneas en una superficie cúbica" , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 33 : 145-173, reimpreso en el volumen 5 de sus obras completas
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- Dieudonné, Jean A. (1971) [1955], La géométrie des groupes classiques (3.a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-05391-2, MR 0310083
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- Ree, Rimhak (1961), "Una familia de grupos simples asociados con el álgebra de Lie simple de tipo (F 4 )", Boletín de la American Mathematical Society , 67 : 115-116, doi : 10.1090 / S0002-9904-1961- 10527-2 , ISSN 0002-9904 , Sr. 0125155
- Steinberg, Robert (1959), "Variaciones sobre un tema de Chevalley" , Pacific Journal of Mathematics , 9 (3): 875–891, doi : 10.2140 / pjm.1959.9.875 , ISSN 0030-8730 , MR 0109191
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- Tetas, Jacques (1958), Les "formes réelles" des groupes de type E 6 , Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958. Textes des conférences; Exposés 152 a 168; 2e èd. corrigée, Exposé 162, 15 , París: Secrétariat math'ematique, MR 0106247