primo de Mersenne

Un primo de Mersenne es un número primo que es uno menos que una potencia de dos . Es decir, es un número primo de la forma $M n = 2 n - 1$ para algún número entero $n$ . Llevan el nombre de Marin Mersenne , un fraile minim francés , que los estudió a principios del siglo XVII. Si $n$ es un número compuesto entonces también lo es $2 n - 1$ . Por tanto, una definición equivalente de los primos de Mersenne es que son los números primos de la forma $M p = 2 p - 1$ para algún primo $p$ .

Los exponentes $n$ que dan primos de Mersenne son 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31,... (secuencia A000043 en la OEIS ) y los primos de Mersenne resultantes son 3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131071, 524287, 2147483647 ,... (secuencia A000668 en el OEIS ).

Los números de la forma $M n = 2 n - 1$ sin el requisito de primalidad pueden llamarse números de Mersenne . A veces, sin embargo, los números de Mersenne se definen para tener el requisito adicional de que $n$ sea primo. El número de Mersenne compuesto más pequeño con exponente primo n es 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 .

Los números primos de Mersenne se estudiaron en la antigüedad debido a su estrecha conexión con los números perfectos : el teorema de Euclides-Euler afirma una correspondencia uno a uno entre los números perfectos pares y los números primos de Mersenne. Muchos de los números primos más grandes conocidos son números primos de Mersenne porque los números de Mersenne son más fáciles de comprobar en busca de primalidad.

A octubre de 2020 ^[árbitro], se conocen 51 números primos de Mersenne. El mayor número primo conocido , 2 ^{82 589 933} − 1 , es un primo de Mersenne. ^[1] Desde 1997, todos los números primos de Mersenne recién encontrados han sido descubiertos por Great Internet Mersenne Prime Search , un proyecto de computación distribuida . En diciembre de 2020, se superó un hito importante en el proyecto después de que todos los exponentes por debajo de 100 millones fueran verificados al menos una vez. ^[2]

Muchas preguntas fundamentales sobre los números primos de Mersenne siguen sin resolverse. Ni siquiera se sabe si el conjunto de primos de Mersenne es finito o infinito. La conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff afirma que hay infinitos números primos de Mersenne y predice su orden de crecimiento . Tampoco se sabe si un número infinito de números de Mersenne con exponentes primos son compuestos , aunque esto se derivaría de conjeturas ampliamente creídas sobre números primos, por ejemplo, la infinitud de los primos de Sophie Germain congruentes con 3 ( mod 4 ). Para estos primos $p$ , $2 p + 1$ (que también es primo) dividirá $M p$ , por ejemplo, $23 | M 11$ , $47 | M 23$ , $167 | M 83$ , $263 | M 131$ , $359 | M 179$ , $383 | M 191$ , $479 | M 239$ y $503 | M 251$ (secuencia A002515 en la OEIS ). Dado que para estos números primos $p$ , $2 p + 1$ es congruente con 7 mod 8, entonces 2 es un residuo cuadrático mod $2 p + 1$ , y el orden multiplicativo de 2 mod $2 p + 1$ debe dividir = $p$ . Dado que $p$ es un número primo, debe ser $p$ o 1. Sin embargo, no puede ser 1 porque y 1 no tiene factores primos , por lo que debe ser $p$ . Por lo tanto, $2$ $p$ $+ 1$ divide y no puede ser primo. ${\frac{(2p+1)-1}{2}}$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {1} (2) = 1}$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {p} (2) = 2 ^ {p} -1}$ ${\ estilo de visualización 2^{p}-1=M_{p}}$

Gráfico del número de dígitos en el número primo de Mersenne más grande conocido por año: era electrónica. La escala vertical es logarítmica en el número de dígitos, siendo así una función en el valor del primo.

{\ estilo de visualización \ registro (\ registro (y))}