En matemáticas , las conjeturas de Mersenne se refieren a la caracterización de números primos de una forma llamada primos de Mersenne , es decir, números primos que son una potencia de dos menos uno.
Conjetura original de Mersenne
El original, llamado la conjetura de Mersenne , fue una declaración de Marin Mersenne en su Cogitata Physico-Mathematica (1644; ver, por ejemplo, Dickson 1919) que los númerosfueron primos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257, y fueron compuestos para todos los demás enteros positivos n ≤ 257. Debido al tamaño de estos números, Mersenne no y no pudo probarlos a todos, ni tampoco sus pares del siglo XVII. Finalmente se determinó, después de tres siglos y la disponibilidad de nuevas técnicas como la prueba de Lucas-Lehmer , que la conjetura de Mersenne contenía cinco errores, a saber, dos son compuestos (los correspondientes a los primos n = 67, 257) y tres primos omitidos ( los correspondientes a los primos n = 61, 89, 107). La lista correcta es: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.
Si bien la conjetura original de Mersenne es falsa, puede haber llevado a la conjetura de New Mersenne .
Nueva conjetura de Mersenne
La conjetura de New Mersenne o la conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al.1989) establece que para cualquier número natural impar p , si se cumplen dos de las siguientes condiciones, entonces también se cumple la tercera:
- p = 2 k ± 1 o p = 4 k ± 3 para algún número natural k . ( OEIS : A122834 )
- 2 p - 1 es primo (un primo de Mersenne ). ( OEIS : A000043 )
- (2 p + 1) / 3 es primo (un primo de Wagstaff ). ( OEIS : A000978 )
Si p es un número compuesto impar , entonces 2 p - 1 y (2 p + 1) / 3 son ambos compuestos. Por lo tanto, solo es necesario probar los números primos para verificar la verdad de la conjetura .
Actualmente, los números conocidos para los que se cumplen las tres condiciones son: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (secuencia A107360 en la OEIS ). También es una conjetura que ningún número mayor que 127 satisface las tres condiciones. A partir de febrero de 2020, se conocen todos los números primos de Mersenne hasta 2 43112609 −1, y para ninguno de ellos se cumple la tercera condición, excepto los que se acaban de mencionar. [1]
Las primas que satisfacen al menos una condición son
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (secuencia A120334 en la OEIS )
Tenga en cuenta que los dos primos para los que la conjetura original de Mersenne es falsa (67 y 257) satisfacen la primera condición de la nueva conjetura (67 = 2 6 +3, 257 = 2 8 +1), pero no las otras dos. 89 y 107, que Mersenne pasó por alto, satisfacen la segunda condición, pero no las otras dos. Mersenne pudo haber pensado que 2 p - 1 es primo solo si p = 2 k ± 1 op = 4 k ± 3 para algún número natural k , pero si pensara que era " si y solo si " habría incluido 61.
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 |
73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 |
127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 | 229 |
233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 |
353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 |
419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 |
467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 | 541 |
Rojo: p es de la forma 2 n ± 1 o 4 n ± 3 | Fondo cian: 2 p -1 es primo | Cursiva: (2 p +1) / 3 es primo | Negrita: p satisface al menos una condición |
La conjetura de New Mersenne puede considerarse como un intento de salvar la conjetura centenaria de Mersenne, que es falsa. Sin embargo, según Robert D. Silverman , John Selfridge estuvo de acuerdo en que la conjetura de New Mersenne es "obviamente cierta", ya que fue elegida para ajustarse a los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son extremadamente improbables. Puede considerarse más una observación curiosa que una cuestión abierta que necesita ser probada.
Renaud Lifchitz ha demostrado que la NMC es verdadera para todos los números enteros menores o iguales a 32582656 [2] probando sistemáticamente todos los números primos para los que ya se sabe que se cumple una de las condiciones. Su sitio web documenta la verificación de resultados hasta este número. Otra página de estado actualmente más actualizada en el NMC es La conjetura de New Mersenne Prime.
Conjetura de Lenstra – Pomerance – Wagstaff
Lenstra , Pomerance y Wagstaff han conjeturado que hay un número infinito de primos de Mersenne y, más precisamente, que el número de primos de Mersenne menores que x se aproxima asintóticamente por
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . En otras palabras, el número de primos de Mersenne con exponente p menor que y es asintóticamente
Esto significa que, en promedio, debería haber ≈ 5.92 primos p de un número dado de dígitos decimales tal quees primordial. La conjetura es bastante precisa para los primeros 40 números primos de Mersenne, pero entre 2 20 000 000 y 2 85 000 000 hay al menos 12, [4] en lugar del número esperado que es de alrededor de 3,7.
De manera más general, el número de primos p ≤ y tales quees primo (donde un , b son coprimas enteros, una > 1, - un < b < un , una y B no son ambos perfecta r poderes -ésimo para cualquier número natural r > 1, y -4 ab no es un perfecto cuarto poder ) es asintóticamente
donde m es el mayor número entero no negativo tal que una y - b son ambos perfectos 2 m poderes -ésimos. El caso de los números primos de Mersenne es un caso de ( a , b ) = (2, 1).
Ver también
- Conjetura de Gillies sobre la distribución de números de factores primos de números de Mersenne
- Prueba de primalidad de Lucas-Lehmer
- Prueba de primalidad de Lucas
- La conjetura de Mersenne del catalán
- Leyes de Mersenne
Referencias
- Bateman, PT ; Selfridge, JL ; Wagstaff Jr., Samuel S. (1989). "La nueva conjetura de Mersenne". American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 96 (2): 125-128. doi : 10.2307 / 2323195 . JSTOR 2323195 . Señor 0992073 .
- Dickson, LE (1919). Historia de la Teoría de los Números . Instituto Carnegie de Washington. pag. 31. OL 6616242M . Reimpreso por Chelsea Publishing, Nueva York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5 .
- ^ James Wanless. "Factorizaciones de Mersenneplustwo" .
- ^ La nueva conjetura de Mersenne Prime en Prime Pages
- ^ a b Heurística: derivación de la conjetura de Wagstaff Mersenne . Las Prime Pages . Consultado el 11 de mayo de 2014.
- ^ Michael Le Page (10 de agosto de 2019). "Dentro de la carrera para encontrar el primer número primo de mil millones de dígitos" . Nuevo científico .
enlaces externos
- El primer glosario. Nueva conjetura principal de Mersenne.