Snub 24 celdas | ||
Proyección ortogonal centrada en el hiperplano de un icosaedro. | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli [1] | s {3,4,3} sr {3,3,4} s {3 1,1,1 } | |
Diagramas de Coxeter-Dynkin |
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Células | 144 | 96 3.3.3 (oblicuo) 24 3.3.3 24 3.3.3.3.3 |
Caras | 480 {3} | |
Bordes | 432 | |
Vértices | 96 | |
Figura de vértice | ( Icosaedro tridiminado ) | |
Grupos de simetría | [3 + , 4,3] ,1/2F 4 , pedido 576 [(3,3) + , 4] , 1/2B 4 , orden 192 | |
Propiedades | convexo | |
Índice uniforme | 30 31 32 |
En geometría , la chata 24-célula o disicositetrachoron chata es una convexa uniforme 4-politopo compuesta de 120 regulares tetraédrica y 24 icosaédricas células . Cinco tetraedros y tres icosaedros se encuentran en cada vértice. En total tiene 480 caras triangulares, 432 aristas y 96 vértices. Se puede construir a partir de las 600 células disminuyendo un subconjunto selecto de pirámides icosaédricas y dejando solo sus bases icosaédricas, eliminando así 480 tetraedros y reemplazándolos con 24 icosaedros.
Topológicamente, bajo su simetría más alta, [3 + , 4,3], como una alternancia de 24 celdas truncadas , contiene 24 piritoedros (un icosaedro con simetría T h ), 24 tetraedros regulares y 96 pirámides triangulares.
Politopo semirregular
Es uno de los tres 4-politopos semirregulares hechos de dos o más células que son sólidos platónicos , descubierto por Thorold Gosset en su artículo de 1900. Lo llamó tetricosaédrico por estar hecho de células tetraedro e icosaedro . (Las otras dos son las de 5 celdas rectificadas y las de 600 celdas rectificadas ).
Nombres alternativos
- Icositetrachoron desaire
- Desaire demitasseract
- Polioctaedro semi-chato ( John Conway ) [2]
- Sadi (Jonathan Bowers: por desaire disicositetrachoron)
- Tetricosahedric Thorold Gosset , 1900 [3]
Geometría
Coordenadas
Los vértices de un chaflán de 24 celdas centrado en el origen de 4 espacios, con aristas de longitud 2, se obtienen tomando permutaciones pares de
- (0, ± 1, ± φ, ± φ 2 )
(donde φ = (1+ √ 5 ) / 2 ≈ 1.618 es la proporción áurea ).
Estos 96 vértices se pueden encontrar dividiendo cada uno de los 96 bordes de una celda de 24 en la proporción áurea de una manera consistente, de la misma manera que los 12 vértices de un icosaedro u "octaedro chato" se pueden producir dividiendo el 12 aristas de un octaedro en la proporción áurea. Esto se puede hacer colocando primero vectores a lo largo de los bordes de las 24 celdas de manera que cada cara bidimensional esté delimitada por un ciclo, luego dividiendo de manera similar cada borde en la proporción áurea a lo largo de la dirección de su vector. [4] Esto es equivalente al truncamiento de desaire de las 24 celdas que se describe a continuación.
Los 96 vértices de las 24 celdas chatas, junto con los 24 vértices de una celda de 24, forman los 120 vértices de las 600 celdas .
Construcciones
El chasquido de 24 celdas se deriva del de 24 celdas mediante una forma especial de truncamiento .
Los truncamientos eliminan los vértices cortando los bordes incidentes al vértice; Las formas de truncamiento difieren según el lugar del borde en el que se realiza el corte. Los truncamientos comunes de las 24 celdas incluyen el recitado de 24 celdas (que corta cada borde en su punto medio, produciendo un politopo delimitado por 24 cubos y 24 cuboctaedros ), y el truncado de 24 celdas (que corta cada borde un tercio de su longitud desde el vértice, produciendo un politopo delimitado por 24 cubos y 24 octaedros truncados ). En estos truncamientos se produce un cubo en lugar del vértice eliminado, porque la figura del vértice de las 24 celdas es un cubo y los cortes son equidistantes del vértice.
El truncamiento chato de las 24 celdas [5] corta cada borde en dos secciones áureas (de modo que la sección más grande esté en la proporción áurea ~ 1.618 a la sección más pequeña, y el borde original esté en la proporción áurea a la sección más grande) . El corte debe realizarse en direcciones alternas en bordes alternos incidentes a cada vértice, para tener un resultado coherente. Los bordes incidentes a un vértice en la celda de 24 son los 8 radios de su figura de vértice cúbico. La única forma de elegir radios alternativos de un cubo es elegir los cuatro radios de un tetraedro (inscrito en el cubo) para cortar en la sección más pequeña de su longitud desde el vértice, y los cuatro radios opuestos (del otro tetraedro que pueden inscribirse en el cubo) para cortar en la sección más grande de su longitud desde el vértice. Por supuesto, hay dos formas de hacer esto; ambos producen un grupo de cinco tetraedros regulares en lugar del vértice eliminado, en lugar de un cubo.
Esta construcción tiene una analogía en 3 dimensiones: la construcción del icosaedro (el " octaedro chato ") a partir del octaedro, por el mismo método. [6] Así es como se producen los icosaedros de la celda snub-24 a partir de los octaedros de la celda 24 durante el truncamiento.
El desaire de 24 celdas está relacionado con el truncado de 24 celdas mediante una operación de alternancia . La mitad de los vértices se eliminan, las 24 celdas de octaedro truncadas se convierten en 24 celdas de icosaedro , los 24 cubos se convierten en 24 celdas de tetraedro y los 96 vacíos de vértice eliminados crean 96 nuevas celdas de tetraedro.
Snub 24 celdas | 600 celdas |
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El chasquido de 24 celdas también puede construirse mediante una disminución particular de las 600 celdas : eliminando 24 vértices de las 600 celdas correspondientes a las de una 24 celdas inscritas , y luego tomando el casco convexo de los vértices restantes. Esto equivale a eliminar 24 pirámides icosaédricas de las 600 células.
Estructura
Una red de chatarra de 24 celdas con icosaedros azules y tetraedros rojos y amarillos. |
Las células icosaédricas encajan cara a cara dejando huecos entre ellas llenas de grupos de cinco células tetraédricas.
Cada celda icosaédrica está unida a otras 8 celdas icosaédricas en 8 caras triangulares en las posiciones correspondientes a un octaedro inscrito. Las caras triangulares restantes se unen a células tetraédricas, que se producen en pares que comparten un borde en la célula icosaédrica.
Las células tetraédricas se pueden dividir en dos grupos, de 96 células amarillas y 24 células rojas, respectivamente (como se muestra en la ilustración neta). Cada celda tetraédrica amarilla se une a través de sus caras triangulares a 3 celdas icosaédricas azules y una celda tetraédrica roja, mientras que cada celda tetraédrica roja se une a 4 tetraedros amarillos. Por lo tanto, las células tetraédricas se encuentran en grupos de cinco (cuatro células amarillas unidas por la cara alrededor de una roja central, cada par rojo / amarillo se encuentra en un hiperplano diferente). El tetraedro central rojo de los cinco comparte cada uno de sus seis bordes con una celda icosaédrica diferente, y con el par de celdas tetraédricas amarillas que comparte ese borde en la celda icosaédrica.
Simetría
El desaire de 24 celdas tiene tres coloraciones transitivas de vértice basadas en una construcción de Wythoff en un grupo Coxeter del que se alterna : F 4 define 24 icosaedros intercambiables, mientras que el grupo B 4 define dos grupos de icosaedros en un conteo de 8:16, y finalmente el grupo D 4 tiene 3 grupos de icosaedros con cuentas 8: 8: 8.
Simetría (orden) | Nombre constructivo | Diagrama de Coxeter-Dynkin Símbolo de Schläfli extendido | Figura de vértice ( icosaedro tridiminished ) | Celdas (coloreadas como caras en figuras de vértice) |
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1/2F 4 [3 + , 4,3] (576) | Snub 24 celdas | s {3,4,3} | Un juego de 24 icosaedros (azul) Dos juegos de tetraedros: 96 (amarillo) y 24 (cian) | |
1/2B 4 [(3,3) + , 4] (192) | Snub rectificado de 16 celdas | sr {3,3,4} | Dos conjuntos de icosaedros: 8, 16 cada uno (rojo y azul) Dos conjuntos de tetraedros: 96 (amarillo) y 24 (cian) | |
1/2D 4 [3 1,1,1 ] + (96) | Omnisnub demitesseract | s {3 1,1,1 } | Tres conjuntos de 8 icosaedros (rojo, verde y azul) Dos conjuntos de tetraedros: 96 (amarillo) y 24 (cian) |
Por el contrario, las 600 celdas se pueden construir a partir de las 24 celdas chatas aumentándolas con 24 pirámides icosaédricas.
Proyecciones
Proyecciones ortográficas
Avión de Coxeter | F 4 | B 4 |
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Grafico | ||
Simetría diedro | [12] + | [8/2] |
Avión de Coxeter | D 4 / B 3 / A 2 | B 2 / A 3 |
Grafico | ||
Simetría diedro | [6] + | [4] |
Proyecciones de perspectiva
Proyecciones de perspectiva | |
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Proyección en perspectiva centrada en una celda icosaédrica, con el punto de vista 4D colocado a una distancia de 5 veces el radio del vértice-centro. La celda icosaédrica más cercana se representa en color sólido y las otras celdas están en contorno de borde. Las celdas que se alejan del punto de vista 4D se eliminan para reducir el desorden visual. | La misma proyección, ahora con 4 de las 8 celdas icosaédricas que rodean la celda central mostrada en verde. |
La misma proyección que la anterior, ahora con las otras 4 celdas icosaédricas que rodean la celda central mostrada en magenta. La versión animada de esta imagen ofrece una buena vista del diseño de estas celdas. Desde este punto de vista particular, se puede ver uno de los huecos que contienen células tetraédricas. Cada uno de estos huecos se llena con 5 celdas tetraédricas, que no se muestran aquí. | Misma proyección que la anterior, ahora con la celda tetraédrica central en el hueco rellenado. Esta celda tetraédrica está unida a otras 4 celdas tetraédricas, dos de las cuales llenan los dos huecos visibles en esta imagen. Los otros dos se encuentran entre una celda tetraédrica verde, una celda magenta y la celda central, a la izquierda y derecha de la celda tetraédrica amarilla. Tenga en cuenta que en estas imágenes, se han eliminado las células que miran en dirección opuesta al punto de vista 4D; por lo tanto, solo hay un total de 1 + 8 + 6 + 24 = 39 celdas contabilizadas aquí. Las otras celdas se encuentran al otro lado de las 24 celdas chatas. Aquí se puede distinguir parte del contorno del borde de uno de ellos, una celda icosaédrica, superpuesta al tetraedro amarillo. |
En esta imagen, solo se muestran la celda icosaédrica más cercana y las 6 celdas tetraédricas amarillas de la imagen anterior. | Ahora se muestran las 12 celdas tetraédricas unidas a la celda icosaédrica central y las 6 celdas tetraédricas amarillas. Cada una de estas células está rodeada por el icosaedro central y dos de las otras células icosaédricas mostradas anteriormente. |
Finalmente, aquí se muestran las otras 12 células tetraédricas unidas a las 6 células tetraédricas amarillas. Estas células, junto con las 8 células icosaédricas mostradas anteriormente, comprenden todas las células que comparten al menos 1 vértice con la célula central. |
Politopos relacionados
El chasquido de 24 celdas se puede obtener como una disminución de las 600 celdas en 24 de sus vértices, de hecho, los de un vértice inscrito de 24 celdas . También hay una bi- disminución adicional , cuando los vértices de un segundo vértice inscrito en 24 celdas también serían disminuidos. En consecuencia, este se conoce como el bi-24-disminuido de 600 celdas .
Policora uniforme D 4 | |||||||||||
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{3,3 1,1 } h {4,3,3} | 2r {3,3 1,1 } h 3 {4,3,3} | t {3,3 1,1 } h 2 {4,3,3} | 2 t {3,3 1,1 } h 2,3 {4,3,3} | r {3,3 1,1 } {3 1,1,1 } = {3,4,3} | rr {3,3 1,1 } r {3 1,1,1 } = r {3,4,3} | tr {3,3 1,1 } t {3 1,1,1 } = t {3,4,3} | sr {3,3 1,1 } s {3 1,1,1 } = s {3,4,3} |
El desaire de 24 celdas también se denomina semi-desaire de 24 celdas porque no es un verdadero desaire (alternancia de un omnitruncado de 24 celdas). El completo chata 24 de células también se puede construir a pesar de que no es uniforme, estando compuesta de tetraedros irregular en los vértices alternado.
El nido de abeja de 24 celdas es la faceta más grande del panal de abejas de 4 dimensiones, el panal de nido de abeja de 24 celdas .
El chato de 24 celdas es parte de la familia de simetría F 4 de 4 politopos uniformes.
Politopos de la familia de 24 células | |||||||||||
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Nombre | 24 celdas | 24 celdas truncadas | desaire 24 celdas | rectificado de 24 celdas | 24 celdas canteladas | bitruncado de 24 celdas | cantitruncado de 24 celdas | runcinated de 24 celdas | runcitruncated 24 celdas | 24 celdas omnitruncadas | |
Símbolo de Schläfli | {3,4,3} | t 0,1 {3,4,3} t {3,4,3} | s {3,4,3} | t 1 {3,4,3} r {3,4,3} | t 0,2 {3,4,3} rr {3,4,3} | t 1,2 {3,4,3} 2t {3,4,3} | t 0,1,2 {3,4,3} tr {3,4,3} | t 0,3 {3,4,3} | t 0,1,3 {3,4,3} | t 0,1,2,3 {3,4,3} | |
Diagrama de Coxeter | |||||||||||
Diagrama de Schlegel | |||||||||||
F 4 | |||||||||||
B 4 | |||||||||||
B 3 (a) | |||||||||||
B 3 (b) | |||||||||||
B 2 |
Ver también
- Nido de abeja de 24 celdas Snub
Notas
- ^ Klitzing, (s3s4o3o - sadi)
- ^ Conway, 2008, p.401 Polioctaedro semi-desaire de Gosset
- ↑ Gosset, 1900
- ^ Coxeter, Politopos regulares, 1973
- ^ Coxeter 1973 , págs. 151-153, §8.4. El desaire {3,4,3}.
- ^ Coxeter 1973 , págs. 50-52, §3.7.
Referencias
- T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- HSM Coxeter (1973). Politopos regulares . Nueva York:. Dover Publications Inc. pp 151 -152, 156-157.
- Snub icositetrachoron - Datos e imágenes
- 3. Policora uniforme convexa basada en el icositetrachoron (24 celdas) - Modelo 31 , George Olshevsky.
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora) s3s4o3o - sadi" .
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26)
- Snub 24-Cell Derivado del Coxeter-Weyl Group W (D4) [1] , Mehmet Koca, Nazife Ozdes Koca, Muataz Al-Barwani (2012); Int. J. Geom. Métodos Mod. Phys. 09, 1250068 (2012)
enlaces externos
- Impresión n. ° 11: Red de icositetrachoron desaire , George Olshevsky.
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos |