Construcción ADHM

En física matemática y teoría de gauge , la construcción ADHM o construcción de mónadas es la construcción de todos los instantones utilizando métodos de álgebra lineal de Michael Atiyah , Vladimir Drinfeld , Nigel Hitchin , Yuri I. Manin en su artículo "Construcción de instantones".

Datos ADHM

La construcción de ADHM utiliza los siguientes datos:

• espacios vectoriales complejos V y W de dimensión k y N ,
• k  ×  k matrices complejas B ₁ , B ₂ , una k  ×  N matriz compleja I y una N  ×  k matriz compleja  J ,
• un mapa del momento real ${\displaystyle \mu _{r}=[B_{1},B_{1}^{\dagger }]+[B_{2},B_{2}^{\dagger }]+II^{\dagger }-J^{\dagger }J,}$
• un mapa de momentos complejo${\displaystyle \displaystyle \mu _{c}=[B_{1},B_{2}]+IJ.}$

Luego, la construcción de ADHM afirma que, dadas ciertas condiciones de regularidad,

• Dado B ₁ , B ₂ , I , J tal que , se puede construir un instante anti-auto-dual en una teoría de gauge SU ( N ) con un número de instante k ,${\displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$
• Todos los instantones anti-auto-duales pueden obtenerse de esta manera y están en correspondencia uno a uno con soluciones hasta una rotación U ( k ) que actúa sobre cada B en la representación adjunta y sobre I y J a través de la fundamental y representaciones antifundamentales
• La métrica en el espacio de los módulos de instantones es que hereda de la plana métrica en B , I y J .

Generalizaciones

Instantons no conmutativos

En una teoría de gauge no conmutativa , la construcción de ADHM es idéntica pero el mapa de momentos se establece igual a la proyección auto-dual de la matriz de no conmutatividad del espacio-tiempo por la matriz de identidad . En este caso, existen instancias incluso cuando el grupo de calibre es U (1). Los instantones no conmutativos fueron descubiertos por Nikita Nekrasov y Albert Schwarz en 1998.${\displaystyle {\vec {\mu }}}$

Vórtices

Estableciendo B ₂ y J en cero, se obtiene el espacio de módulos clásico de vórtices no belianos en una teoría de gauge supersimétrica con un número igual de colores y sabores, como se demostró en Vórtices, instantones y branas . La generalización a un mayor número de sabores apareció en Solitones en la fase de Higgs: El enfoque de la matriz de Moduli . En ambos casos, el término de Fayet-Iliopoulos , que determina un condensado de squark , juega el papel del parámetro de no conmutatividad en el mapa de momento real.

La fórmula de construcción

Sea x las coordenadas del espacio - tiempo euclidiano de 4 dimensiones escritas en notación cuaterniónica${\displaystyle x_{ij}={\begin{pmatrix}z_{2}&z_{1}\\-{\bar {z_{1}}}&{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Considere la matriz de 2 k  × ( N  + 2 k )

${\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}I&B_{2}+z_{2}&B_{1}+z_{1}\\J^{\dagger }&-B_{1}^{\dagger }-{\bar {z_{1}}}&B_{2}^{\dagger }+{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Entonces las condiciones son equivalentes a la condición de factorización ${\displaystyle \displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$

${\displaystyle \Delta \Delta ^{\dagger }={\begin{pmatrix}f^{-1}&0\\0&f^{-1}\end{pmatrix}}}$donde f ( x ) es una matriz hermitiana k × k .

Entonces, un operador de proyección hermitiano P se puede construir como

${\displaystyle P=\Delta ^{\dagger }{\begin{pmatrix}f&0\\0&f\end{pmatrix}}\Delta .}$

El espacio nulo de Δ ( x ) es de dimensión N para x genérico . Los vectores base para este espacio nulo se pueden ensamblar en una matriz ( N  + 2 k ) ×  N U ( x ) con la condición de ortonormalización U ^† U  = 1.

Una condición de regularidad en el rango de Δ garantiza la condición de integridad

${\displaystyle P+UU^{\dagger }=1.\,}$

La conexión anti-autodual se construye a partir de U mediante la fórmula

${\displaystyle A_{m}=U^{\dagger }\partial _{m}U.}$

Ver también

• Mónada (álgebra lineal)
• Teoría de twistor

Referencias

• Atiyah, Michael Francis (1979), Geometría de los campos Yang-Mills , Scuola Normale Superiore Pisa, Pisa, MR  0554924
• Atiyah, Michael Francis ; Drinfeld, VG ; Hitchin, Nueva Jersey ; Manin, Yuri Ivanovich (1978), "Construction of instantons", Physics Letters A , 65 (3): 185–187, Bibcode : 1978PhLA ... 65..185A , doi : 10.1016 / 0375-9601 (78) 90141- X , ISSN  0375-9601 , MR  0598562
• Hitchin, N. (1983), "Sobre la construcción de monopolos" , Commun. Matemáticas. Phys. 89, 145-190.