Una guía para el teorema de clasificación de superficies compactas es un libro de texto de topología sobre la clasificación de superficies bidimensionales. Fue escrito por Jean Gallier y Dianna Xu , y publicado en 2013 por Springer-Verlag como el volumen 9 de su serie Geometry and Computing ( doi : 10.1007 / 978-3-642-34364-3 , ISBN 978-3-642-34363 -6 ). El Comité de Lista de Bibliotecas Básicas de la Asociación de Matemáticas de América ha recomendado su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. [1]
Temas
La clasificación de superficies (más formalmente, variedades compactas bidimensionales sin límite) se puede establecer de manera muy simple, ya que depende solo de la característica de Euler y la orientabilidad de la superficie. Una superficie orientable de este tipo debe ser topológicamente equivalente ( homeomorfa ) a una esfera , toro o cuerpo de manija más general , clasificado por su número de manijas. Una superficie no orientable debe ser equivalente a un plano proyectivo , una botella de Klein , o una superficie más general caracterizada por un número análogo, su número de tapones cruzados . Para superficies compactas con límite, la única información adicional necesaria es el número de componentes de límite. [1] Este resultado se presenta informalmente al comienzo del libro, como el primero de sus seis capítulos. El resto del libro presenta una formulación más rigurosa del problema, una presentación de las herramientas topológicas necesarias para probar el resultado y una prueba formal de la clasificación. [2] [3]
Otros temas de topología discutidos como parte de esta presentación incluyen complejos simpliciales , grupos fundamentales , homología simplicial y homología singular , y la conjetura de Poincaré . Los apéndices incluyen material adicional sobre incrustaciones y mapeos auto-intersectantes de superficies en un espacio tridimensional como la superficie romana , la estructura de grupos abelianos generados finitamente , topología general , la historia del teorema de clasificación y el Hauptvermutung (el teorema de que la superficie se puede triangular). [2]
Audiencia y recepción
Este es un libro de texto dirigido al nivel de estudiantes universitarios avanzados o estudiantes graduados principiantes en matemáticas, [2] quizás después de haber completado un primer curso en topología. Se espera que los lectores del libro ya estén familiarizados con la topología general , el álgebra lineal y la teoría de grupos . [1] Sin embargo, como libro de texto, carece de ejercicios, y el revisor Bill Wood sugiere su uso para un proyecto de estudiante en lugar de un curso formal. [1]
Muchos otros libros de texto de topología algebraica para graduados incluyen la cobertura del mismo tema. [4] Sin embargo, al enfocarse en un solo tema, el teorema de clasificación, el libro es capaz de probar el resultado de manera rigurosa mientras permanece en un nivel general más bajo, [4] [5] proporciona una mayor cantidad de intuición e historia, [4 ] y servir como "un recorrido motivador por las técnicas fundamentales de la disciplina". [1]
La revisora Clara Löh se queja de que algunas partes del libro son redundantes y, en particular, de que el teorema de clasificación se puede probar con el grupo fundamental o con la homología (sin necesidad de ambos), que por otro lado varias herramientas importantes de la topología, incluida la Jordan– El teorema de las moscas de Schoen no está probado y se omiten varios resultados de clasificación relacionados. [3] Sin embargo, el crítico DV Feldman recomienda encarecidamente el libro, [5] Wood escribe "Este es un libro que desearía haber tenido en la escuela de posgrado", [1] y el crítico Werner Kleinert lo llama "un texto introductorio de notable didáctica valor". [2]
Referencias
- ^ a b c d e f Wood, Bill (marzo de 2014), "Revisión de una guía para el teorema de clasificación para superficies compactas " , Revisiones de MAA , Asociación Matemática de América
- ^ a b c d Kleinert, Werner, "Revisión de una guía para el teorema de clasificación para superficies compactas ", zbMATH , Zbl 1270.57001
- ^ a b Löh, Clara, "Revisión de una guía para el teorema de clasificación para superficies compactas ", Revisiones matemáticas , 9 , MR 3026641
- ^ a b c Castrillon Lopez, Marco (enero de 2018), "Review of A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces " , EMS Reviews , European Mathematical Society
- ^ a b Feldman, DV (agosto de 2013), "Revisión de una guía para el teorema de clasificación para superficies compactas " (PDF) , Choice Reviews , 51 (01), Review 51-0331, doi : 10.5860 / choice.51-0331
enlaces externos
- Sitio web del autor para una guía del teorema de clasificación para superficies compactas que incluye una versión en PDF del capítulo 1