En matemáticas , diferencial del primer tipo es un término tradicional utilizado en las teorías de superficies de Riemann (más generalmente, variedades complejas ) y curvas algebraicas (más generalmente, variedades algebraicas ), para formas 1 diferenciales regulares en todas partes . Dada una variedad compleja M , una diferencial del primer tipo ω es, por tanto, lo mismo que una forma 1 que es holomórfica en todas partes ; en una variedad algebraica V que no es singular sería una sección global de la gavilla coherente Ω1 de los diferenciales de Kähler . En cualquier caso, la definición tiene su origen en la teoría de las integrales abelianas .
La dimensión del espacio de diferenciales de primer tipo, mediante esta identificación, es el número de Hodge
- h 1,0 .
Los diferenciales del primer tipo, cuando se integran a lo largo de trayectorias, dan lugar a integrales que generalizan las integrales elípticas a todas las curvas sobre los números complejos . Incluyen, por ejemplo, las integrales hiperelípticas de tipo
donde Q es un polinomio libre de cuadrados de cualquier grado dado> 4. La potencia permitida k debe determinarse mediante el análisis del polo posible en el punto en el infinito de la curva hiperelíptica correspondiente . Cuando se hace esto, uno encuentra que la condición es
- k ≤ g - 1,
o en otras palabras, k como máximo 1 para el grado de Q 5 o 6, como máximo 2 para el grado 7 u 8, y así sucesivamente (como g = [(1+ grado Q ) / 2]).
En general, como ilustra este ejemplo, para una superficie de Riemann compacta o una curva algebraica , el número de Hodge es el género g . Para el caso de superficies algebraicas , esta es la cantidad conocida clásicamente como la irregularidad q . También es, en general, la dimensión de la variedad albanesa , que ocupa el lugar de la variedad jacobiana .
Diferenciales de segundo y tercer tipo
La terminología tradicional también incluía diferenciales de segundo y tercer tipo . La idea detrás de esto ha sido apoyada por las teorías modernas de formas diferenciales algebraicas , tanto desde el lado de la teoría más de Hodge , como mediante el uso de morfismos para grupos algebraicos conmutativos .
La función zeta de Weierstrass se denominó integral de segundo tipo en la teoría de la función elíptica ; es una derivada logarítmica de una función theta y, por lo tanto, tiene polos simples , con residuos enteros. La descomposición de una función elíptica ( meromórfica ) en piezas de 'tres tipos' es paralela a la representación como (i) una constante, más (ii) una combinación lineal de traslados de la función zeta de Weierstrass, más (iii) una función con polos arbitrarios pero sin residuos en ellos.
El mismo tipo de descomposición existe en general, mutatis mutandis , aunque la terminología no es completamente consistente. En la teoría del grupo algebraico ( jacobiano generalizado ) los tres tipos son variedades abelianas , toros algebraicos y espacios afines , y la descomposición se realiza en términos de una serie de composición .
Por otro lado, un diferencial abeliano meromórfico del segundo tipo ha sido tradicionalmente uno con residuos en todos los polos que son cero. Uno del tercer tipo es aquel en el que todos los polos son simples. Existe un análogo de dimensión superior disponible, que utiliza el residuo de Poincaré .
Ver también
Referencias
- "Diferencial abeliano" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]