En álgebra abstracta , la conjetura de Abhyankar es una conjetura de 1957 de Shreeram Abhyankar , sobre los grupos de Galois de campos de función algebraica de característica p . [1] El caso soluble fue resuelto por Serre en 1990 [2] y la conjetura completa fue probada en 1994 por el trabajo de Michel Raynaud y David Harbater . [3] [4] [5]
El problema involucra un grupo finito G , un número primo p , y el campo de función K (C) de una curva algebraica integral no singular C definida sobre un campo algebraicamente cerrado K de característica p .
La pregunta aborda la existencia de una extensión de Galois L de K ( C ), con G como grupo de Galois, y con ramificación especificada . Desde un punto de vista geométrico, L corresponde a otra curva C ′, junto con un morfismo
Geométricamente, la afirmación de que π está ramificado en un conjunto finito S de puntos en C significa que π restringido al complemento de S en C es un morfismo étale . Esto es análogo al caso de las superficies de Riemann . En la conjetura de Abhyankar, S es fijo y la pregunta es qué puede ser G. Este es, por tanto, un tipo especial de problema de Galois inverso .
El subgrupo p ( G ) se define como el subgrupo generado por todos los subgrupos de Sylow de G para el número primo p . Este es un subgrupo normal , y el parámetro n se define como el número mínimo de generadores de
Entonces, para el caso de C, la línea proyectiva sobre K , la conjetura establece que G se puede realizar como un grupo de Galois de L , sin ramificar fuera de S que contiene s + 1 puntos, si y solo si