En física matemática , la estructura causal de una variedad de Lorentz describe las relaciones causales entre puntos en la variedad.
Introducción
En la física moderna (especialmente en la relatividad general ) el espacio-tiempo está representado por una variedad de Lorentz . Las relaciones causales entre puntos en la variedad se interpretan como una descripción de qué eventos en el espacio-tiempo pueden influir en qué otros eventos.
El espacio-tiempo de Minkowski es un ejemplo simple de una variedad de Lorentz. Las relaciones causales entre puntos en el espacio-tiempo de Minkowski toman una forma particularmente simple, ya que el espacio es plano . Consulte Estructura causal del espacio-tiempo de Minkowski para obtener más información.
La estructura causal de una variedad Lorentziana arbitraria (posiblemente curva) se complica por la presencia de curvatura . Las discusiones sobre la estructura causal de tales variedades deben formularse en términos de curvas suaves que unen pares de puntos. Las condiciones de los vectores tangentes de las curvas definen entonces las relaciones causales.
Vectores de tangente
Si es una variedad de Lorentz (para métrica en colector ) entonces los vectores tangentes en cada punto de la variedad se pueden clasificar en tres tipos diferentes. Un vector tangente es
- como si
- nulo o parecido a la luz si
- como un espacio si
(Aquí usamos el firma métrica ). Un vector tangente se llama "no similar al espacio" si es nulo o similar a un tiempo.
Estos nombres provienen del caso más simple del espacio-tiempo de Minkowski (ver Estructura causal del espacio-tiempo de Minkowski ).
Orientabilidad temporal
En cada punto de los vectores tangentes similares al tiempo en el espacio tangente del punto se pueden dividir en dos clases. Para hacer esto, primero definimos una relación de equivalencia en pares de vectores tangentes similares al tiempo.
Si y son dos vectores tangentes en forma de tiempo en un punto que decimos que y son equivalentes (escritos ) Si .
Entonces hay dos clases de equivalencia que entre ellas contienen todos los vectores tangentes de tiempo en el punto. Podemos (arbitrariamente) llamar a una de estas clases de equivalencia "dirigida hacia el futuro" y llamar a la otra "dirigida hacia el pasado". Físicamente, esta designación de las dos clases de vectores temporales dirigidos hacia el futuro y hacia el pasado corresponde a la elección de una flecha de tiempo en el punto. Las designaciones dirigidas al futuro y al pasado pueden extenderse a vectores nulos en un punto por continuidad.
Una variedad de Lorentz es orientable en el tiempo [1] si se puede hacer una designación continua de vectores dirigidos al futuro y dirigidos al pasado para vectores no espaciales en toda la variedad.
Curvas
Un camino enes un mapa continuo dónde es un intervalo no degenerado (es decir, un conjunto conectado que contiene más de un punto) en . Un camino suave tiene diferenciable un número apropiado de veces (típicamente ), y una ruta regular tiene una derivada que no se desvanece.
Una curva enes la imagen de una ruta o, más propiamente, una clase de equivalencia de imágenes de ruta relacionadas por re-parametrización, es decir, homeomorfismos o difeomorfismos de. Cuándoes orientable en el tiempo, la curva está orientada si se requiere que el cambio de parámetro sea monótono .
Suavizar curvas regulares (o caminos) en pueden clasificarse en función de sus vectores tangentes. Tal curva es
- cronológico (o temporal ) si el vector tangente es temporal en todos los puntos de la curva.
- nulo si el vector tangente es nulo en todos los puntos de la curva.
- similar a un espacio si el vector tangente es similar a un espacio en todos los puntos de la curva.
- causal (o no similar al espacio ) si el vector tangente es similar al tiempo o nulo en todos los puntos de la curva.
Los requisitos de regularidad y no degeneración de asegurarse de que las curvas causales cerradas (como las que consisten en un solo punto) no sean admitidas automáticamente por todos los espaciotiempos
Si el colector es orientable en el tiempo, las curvas no espaciales pueden clasificarse además en función de su orientación con respecto al tiempo.
Una curva cronológica, nula o causal en es
- dirigido al futuro si, para cada punto de la curva, el vector tangente está dirigido al futuro.
- dirigido al pasado si, para cada punto de la curva, el vector tangente está dirigido al pasado.
Estas definiciones solo se aplican a las curvas causales (cronológicas o nulas) porque solo se puede asignar una orientación con respecto al tiempo a los vectores tangentes nulos o similares al tiempo.
- Una curva cerrada similar a un tiempo es una curva cerrada que en todas partes es similar a un tiempo dirigido al futuro (o en todas partes a un tiempo dirigido al pasado).
- Una curva nula cerrada es una curva cerrada que es nula dirigida hacia el futuro en todas partes (o nula dirigida hacia el pasado en todas partes).
- La holonomía de la razón de la tasa de cambio del parámetro afín alrededor de una geodésica nula cerrada es el factor de desplazamiento al rojo .
Relaciones causales
Hay dos tipos de relaciones causales entre puntos. y en el colector .
- precede cronológicamente (a menudo denotado ) si existe una curva cronológica (en forma de tiempo) dirigida hacia el futuro desde a .
- precede estrictamente causalmente (a menudo denotado ) si existe una curva causal (no espacial) dirigida hacia el futuro desde a .
- precede causalmente (a menudo denotado o ) Si precede estrictamente causalmente o .
- horismos (cono de luz)[2] (a menudo denotado o ) Si y , implica
- , implica
y satisfacer [3]
- implica (esto se sigue trivialmente de la definición)
- , implica
- , implica
Por un punto en el colector definimos [3]
- El futuro cronológico de, denotado , como el conjunto de todos los puntos en tal que precede cronológicamente :
- El pasado cronológico de, denotado , como el conjunto de todos los puntos en tal que precede cronológicamente :
De manera similar definimos
- El futuro causal (también llamado futuro absoluto ) de, denotado , como el conjunto de todos los puntos en tal que precede causalmente :
- El pasado causal (también llamado pasado absoluto ) de, denotado , como el conjunto de todos los puntos en tal que precede causalmente :
Puntos contenidos en , por ejemplo, se puede acceder desde por una curva temporal dirigida hacia el futuro. El punto se puede llegar, por ejemplo, desde puntos contenidos en por una curva no espacial dirigida hacia el futuro.
Como ejemplo simple, en el espacio-tiempo de Minkowski el conjuntoes el interior del futuro cono de luz en. El conjunto es el cono de luz futuro completo en , incluido el cono en sí.
Estos conjuntos definido para todos en , se denominan colectivamente la estructura causal de.
Para un subconjunto dedefinimos [3]
Para dos subconjuntos de definimos
- El futuro cronológico de relativo a , , es el futuro cronológico de considerado como una subvariedad de . Tenga en cuenta que este es un concepto bastante diferente de que da el conjunto de puntos en que puede ser alcanzado por curvas de tiempo dirigidas hacia el futuro a partir de . En el primer caso, las curvas deben estar enen el segundo caso, no. Vea a Hawking y Ellis.
- El futuro causal de relativo a , , es el futuro causal de considerado como una subvariedad de . Tenga en cuenta que este es un concepto bastante diferente de que da el conjunto de puntos en que puede ser alcanzado por curvas causales dirigidas hacia el futuro a partir de . En el primer caso, las curvas deben estar enen el segundo caso, no. Vea a Hawking y Ellis.
- Un conjunto futuro es un conjunto cerrado bajo futuro cronológico.
- Un conjunto pasado es un conjunto cerrado bajo un pasado cronológico.
- Un conjunto pasado indecomponible (IP) es un conjunto pasado que no es la unión de dos subconjuntos pasados propios abiertos diferentes.
- es un conjunto de pasado indecomponible adecuado (PIP).
- Un terminal indecomposable past set (TIP) es una IP que no es un PIP.
- El futuro desarrollo de Cauchy de, es el conjunto de todos los puntos por el cual todo pasado dirigido curva causal inextensible a través de se cruza al menos una vez. De manera similar para el pasado desarrollo de Cauchy. El desarrollo de Cauchy es la unión del futuro y el pasado de Cauchy. Los desarrollos de Cauchy son importantes para el estudio del determinismo .
- Un subconjunto es acronal si no existe tal que , o de manera equivalente, si es disjunto de .
- Una superficie de Cauchy es un conjunto acronal cerrado cuyo desarrollo de Cauchy es.
- Una métrica es globalmente hiperbólica si puede ser foliada por superficies de Cauchy.
- El conjunto que viola la cronología es el conjunto de puntos a través de los cuales pasan curvas cerradas en forma de tiempo.
- El conjunto que viola la causalidad es el conjunto de puntos a través de los cuales pasan las curvas causales cerradas.
- Por una curva causal , el diamante causal es(aquí estamos usando la definición más flexible de 'curva' en la que es solo un conjunto de puntos). En palabras: el diamante causal de la línea del mundo de una partícula. es el conjunto de todos los eventos que se encuentran tanto en el pasado de algún punto en y el futuro de algún punto en .
Propiedades
Ver Penrose (1972), p13.
- Un punto es en si y solo si es en .
- El horismos se genera por congruencias geodésicas nulas.
Propiedades topológicas :
- está abierto para todos los puntos en .
- está abierto para todos los subconjuntos .
- para todos los subconjuntos . Aquíes el cierre de un subconjunto.
Geometría conforme
Dos métricas y están relacionados conforme [4] si para alguna función real llamado el factor conforme . (Ver mapa conforme ).
Al observar las definiciones de qué vectores tangentes son temporales, nulos y espaciales, vemos que permanecen sin cambios si usamos o Como ejemplo supongamos es un vector tangente similar al tiempo con respecto a la métrico. Esto significa que. Entonces tenemos eso entonces es un vector tangente similar al tiempo con respecto a la también.
De esto se deduce que la estructura causal de una variedad de Lorentz no se ve afectada por una transformación conforme .
Ver también
- Triangulación dinámica causal (CDT)
- Condiciones de causalidad
- Conjuntos causales
- Superficie de Cauchy
- Curva cerrada en forma de tiempo
- Variedad globalmente hiperbólica
- Diagrama de Penrose
- Tiempo espacial
Notas
- ^ Hawking e Israel , 1979 , p. 255
- ^ Penrose 1972 , p. 15
- ↑ a b c Penrose , 1972 , p. 12
- ^ Hawking y Ellis 1973 , p. 42
Referencias
- Hawking, SW ; Ellis, GFR (1973), La estructura a gran escala del espacio-tiempo , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-20016-4
- Hawking, SW ; Israel, W. (1979), Relatividad general, una encuesta del centenario de Einstein , Cambridge University Press, ISBN 0-521-22285-0
- Penrose, R. (1972), Técnicas de topología diferencial en relatividad , SIAM, ISBN 0898710057
Otras lecturas
- GW Gibbons , SN Solodukhin; La geometría de los diamantes causales pequeños arXiv: hep-th / 0703098 (intervalos causales)
- SW Hawking , AR King, PJ McCarthy; Una nueva topología para el espacio-tiempo curvo que incorpora las estructuras causal, diferencial y conforme ; J. Math. Phys. 17 2: 174 - 181 (1976); (Geometría, estructura causal )
- AV Levichev; Prescribir la geometría conforme de una variedad de lorentz por medio de su estructura causal ; Matemáticas soviéticas. Dokl. 35: 452 - 455, (1987); (Geometría, estructura causal )
- D. Malament ; La clase de curvas temporales continuas determina la topología del espacio-tiempo ; J. Math. Phys. 18 7: 1399-1404 (1977); (Geometría, estructura causal )
- AA Robb ; Una teoría del tiempo y el espacio ; Cambridge University Press, 1914; (Geometría, estructura causal )
- AA Robb ; Las relaciones absolutas de tiempo y espacio ; Cambridge University Press, 1921; (Geometría, estructura causal )
- AA Robb ; Geometría del tiempo y el espacio ; Cambridge University Press, 1936; (Geometría, estructura causal )
- RD Sorkin , E. Woolgar; Un orden causal para los espaciotiempos con métricas de Lorentzian C0: prueba de la compacidad del espacio de las curvas causales ; Gravedad clásica y cuántica 13: 1971-1994 (1996); arXiv: gr-qc / 9508018 ( Estructura causal )
enlaces externos
- Turing Machine Causal Networks por Enrique Zeleny, el proyecto de demostraciones Wolfram
- Weisstein, Eric W. "Red causal" . MathWorld .