La teoría de categorías accesibles es parte de las matemáticas , específicamente de la teoría de categorías . Intenta describir categorías en términos del "tamaño" (un número cardinal ) de las operaciones necesarias para generar sus objetos.
La teoría se origina en el trabajo de Grothendieck completado en 1969, [1] y Gabriel y Ulmer (1971). [2] Ha sido desarrollado en 1989 por Michael Makkai y Robert Paré, con motivación proveniente de la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática . [3] Un libro de texto estándar de Adámek y Rosický apareció en 1994. [4] Las categorías accesibles también tienen aplicaciones en la teoría de la homotopía . [5] [6] Grothendieck continuó el desarrollo de la teoría con fines teóricos de la homotopía en su manuscrito de 1991 Les dérivateurs (todavía parcialmente inédito) .[7] Algunas propiedades de las categorías accesibles dependen del universo conjunto en uso, particularmente de laspropiedades cardinales y el principio de Vopěnka . [8]
-colimits dirigidos y -objetos presentables
Dejar ser un cardinal regular infinito , es decir, un número cardinal que no es la suma de un número menor de cardinales menores; ejemplos son( aleph-0 ), el primer número cardinal infinito, y, el primer cardenal incontable). Un conjunto parcialmente ordenado se llama -dirigido si cada subconjunto de de cardinalidad menor que tiene un límite superior en . En particular, los conjuntos dirigidos ordinarios son precisamente los-conjuntos dirigidos.
Ahora deja ser una categoría . Un límite directo (también conocido como colimit dirigido) sobre un-conjunto dirigido se llama un -dirigido colimit . Un objeto de se llama -presentable si el functor Hom conserva todo -colimits dirigidos en . Está claro que cada-El objeto presentable también es -presentable siempre que , ya que cada -dirigido colimit también es un -dirigido colimit en ese caso. A-objeto presentable se llama finitamente presentable .
Ejemplos de
- En la categoría Conjunto de todos los conjuntos, los objetos finamente presentables coinciden con los conjuntos finitos. La-los objetos presentables son los conjuntos de cardinalidad menores que .
- En la categoría de todos los grupos , un objeto es finitamente presentable si y sólo si es un grupo finitamente presentado , es decir, si tiene una presentación con un número finito de generadores y un número finito de relaciones. Por incontables regulares, la -los objetos presentables son precisamente los grupos con cardinalidad menor que .
- En la categoría de izquierda-módulos sobre algún anillo (unitario, asociativo) , los objetos finamente presentables son precisamente los módulos finamente presentados .
-categorías accesibles y presentables localmente
La categoría se llama -accesible siempre que:
- tiene todo -colimits dirigidos
- contiene un conjunto de -objetos presentables de manera que cada objeto de es un -colimit dirigido de objetos de .
Un -categoría accesible se denomina finitamente accesible . Una categoría se llama accesible si es-Accesible para algún cardenal regular infinito . Cuando una categoría accesible también está cocompleta , se denomina presentable localmente .
Un functor Entre -categorías accesibles se llama -accesible siempre que conservas -colimits dirigidos.
Ejemplos de
- La categoría Conjunto de todos los conjuntos y funciones es localmente finitamente presentable, ya que cada conjunto es el límite directo de sus subconjuntos finitos, y los conjuntos finitos son finitamente presentables.
- La categoría -Mod de (izquierda) -modules es finitamente presentable localmente para cualquier anillo .
- La categoría de conjuntos simpliciales es finitamente accesible.
- La categoría Mod (T) de los modelos de alguna teoría de primer orden T con firma contable es -accesible. -Los objetos presentables son modelos con un número contable de elementos.
- Otros ejemplos de categorías presentables localmente son las categorías algebraicas finitarias (es decir, las categorías correspondientes a las variedades de álgebra en el álgebra universal ) y las categorías de Grothendieck .
Teoremas
Se puede demostrar que todas las categorías presentables localmente también están completas . [9] Además, una categoría es presentable localmente si y solo si es equivalente a la categoría de modelos de un boceto límite . [10]
Los functores adjuntos entre categorías presentables localmente tienen una caracterización particularmente simple. Un functor entre categorías presentables localmente:
- es un adjunto izquierdo si y solo si conserva pequeños colimits,
- es un derecho adjunto si y solo si conserva pequeños límites y es accesible.
Notas
- ^ Grothendieck, Alexander; et al. (1972), Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas , Lecture Notes in Mathematics 269, Springer
- ^ Gabriel, P; Ulmer, F (1971), Lokal Präsentierbare Kategorien , Lecture Notes in Mathematics 221, Springer
- ^ Makkai, Michael; Paré, Robert (1989), Categorías accesibles: El fundamento de la teoría de modelos categóricos , Matemáticas contemporáneas, AMS, ISBN 0-8218-5111-X
- ^ Adamek / Rosický 1994
- ^ J. Rosický "Sobre categorías de modelos combinatorios" , arXiv , 16 de agosto de 2007. Consultado el 19 de enero de 2008.
- ^ Rosický, J. "Injetividad y categorías accesibles". Cubo Matem. Educ 4 (2002): 201-211.
- ^ Grothendieck, Alexander (1991), Les dérivateurs , Contemporary Mathematics, manuscrito( Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Édité par M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis )
- ^ Adamek / Rosický 1994, capítulo 6
- ^ Adamek / Rosický 1994, observación 1.56
- ↑ Adamek / Rosický 1994, corolario 1.52
Referencias
- Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (1994), Categorías localmente presentables y accesibles , LNM Lecture Notes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42261-2