El efecto acústico elástico es cómo cambian las velocidades del sonido ( velocidades de onda longitudinal y de corte ) de un material elástico si se somete a un campo de tensión estática inicial . Este es un efecto no lineal de la relación constitutiva entre el esfuerzo mecánico y la deformación finita en un material de masa continua . En la teoría clásica de la elasticidad lineal , las pequeñas deformaciones de la mayoría de los materiales elásticos pueden describirse mediante una relación lineal entre la tensión aplicada y la deformación resultante. Esta relación se conoce comúnmente como la generalizadaLey de Hooke . La teoría elástica lineal implica constantes elásticas de segundo orden (p. Ej. y ) y produce velocidades constantes del sonido longitudinal y cortante en un material elástico, no afectado por una tensión aplicada. El efecto acustoelástico por otro lado incluye una expansión de orden superior de la relación constitutiva (teoría de la elasticidad no lineal [1] ) entre la tensión aplicada y la deformación resultante, que produce velocidades de sonido longitudinal y cortante dependientes del estado de tensión del material. En el límite de un material no tensionado se reproducen las velocidades del sonido de la teoría elástica lineal.
El efecto acustoelástico fue investigado ya en 1925 por Brillouin. [2] Encontró que la velocidad de propagación de las ondas acústicas disminuiría proporcionalmente a la presión hidrostática aplicada. Sin embargo, una consecuencia de su teoría fue que las ondas sonoras dejarían de propagarse a una presión suficientemente grande. Más tarde se demostró que este efecto paradójico se debía a las suposiciones incorrectas de que los parámetros elásticos no se veían afectados por la presión. [3]
En 1937 Murnaghan [4] presentó una teoría matemática que amplía la teoría elástica lineal para incluir también la deformación finita en materiales isotrópicos elásticos . Esta teoría incluía tres constantes elásticas de tercer orden, , y . En 1953, Huges y Kelly [5] utilizaron la teoría de Murnaghan en su trabajo experimental para establecer valores numéricos para constantes elásticas de orden superior para varios materiales elásticos, incluidos poliestireno , hierro Armco y Pyrex , sometidos a presión hidrostática y compresión uniaxial .
Teoría elástica no lineal para materiales hiperelásticos
El efecto acústicoelástico es un efecto de deformación finita de materiales elásticos no lineales. Una descripción moderna y completa de esto se puede encontrar en. [1] Este libro trata la aplicación de la teoría de la elasticidad no lineal y el análisis de las propiedades mecánicas de materiales sólidos capaces de grandes deformaciones elásticas. El caso especial de la teoría acustoelástica para un material hiperelástico isotrópico compresible , como el acero policristalino , [6] se reproduce y muestra en este texto a partir de la teoría de la elasticidad no lineal presentada por Ogden. [1]
- Tenga en cuenta que la configuración en este texto, así como en [1], es isotérmica y no se hace referencia a la termodinámica .
Relación constitutiva - materiales hiperelásticos (relación tensión-deformación)
Un material hiperelástico es un caso especial de un material elástico de Cauchy en el que la tensión en cualquier punto es objetiva y está determinada únicamente por el estado actual de deformación con respecto a una configuración de referencia arbitraria (para más detalles sobre la deformación, consulte también las páginas Deformación (mecánica ) y deformación finita ). Sin embargo, el trabajo realizado por las tensiones puede depender del camino que tome la deformación. Por lo tanto, un material elástico de Cauchy tiene una estructura no conservadora y la tensión no puede derivarse de una función potencial elástica escalar . El caso especial de los materiales elásticos de Cauchy donde el trabajo realizado por las tensiones es independiente de la trayectoria de deformación se denomina material elástico verde o hiperelástico. Dichos materiales son conservadores y las tensiones en el material pueden derivarse de un potencial elástico escalar, más comúnmente conocido como función de densidad de energía de deformación .
La relación constitutiva entre la tensión y la deformación se puede expresar de diferentes formas en función de las formas de tensión y deformación elegidas. Selección del primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff (que es la transposición del tensor de tensión nominal ), la ecuación constitutiva para un material hiperelástico compresible se puede expresar en términos de la deformación del verde de Lagrange () como:
dónde es el tensor del gradiente de deformación , y donde la segunda expresión usa la convención de suma de Einstein para la notación de índice de tensores .es la función de densidad de energía de deformación para un material hiperelástico y se han definido por unidad de volumen en lugar de por unidad de masa, ya que esto evita la necesidad de multiplicar el lado derecho con la densidad de masa de la configuración de referencia. [1]
Suponiendo que la función de densidad de energía de deformación escalar puede aproximarse mediante una expansión de la serie de Taylor en la deformación actual, se puede expresar (en notación de índice) como:
Imponer las restricciones de que la función de energía de deformación debe ser cero y tener un mínimo cuando el material está en el estado no deformado (es decir, ) está claro que no hay un término constante o lineal en la función de energía de deformación y, por lo tanto:
dónde es un tensor de cuarto orden de módulos elásticos de segundo orden , mientras quees un tensor de sexto orden de módulos elásticos de tercer orden. La simetría de junto con la función de densidad de energía de deformación escalar implica que los módulos de segundo orden tienen la siguiente simetría:
que reducen el número de constantes elásticas independientes de 81 a 36. Además, la expansión de potencia implica que los módulos de segundo orden también tienen la simetría mayor
que reducen aún más el número de constantes elásticas independientes a 21. Se pueden usar los mismos argumentos para los módulos elásticos de tercer orden . Estas simetrías también permiten que los módulos elásticos se expresen mediante la notación de Voigt (es decir, y ).
El tensor de gradiente de deformación se puede expresar en forma de componente como
dónde es el desplazamiento de un punto material desde la coordenada en la configuración de referencia para coordinar en la configuración deformada (consulte la Figura 2 en la página de la teoría de deformaciones finitas). Incluir la expansión de potencia de la función de energía de deformación en la relación constitutiva y reemplazar el tensor de deformación lagrangianocon la expansión dada en los rendimientos de la página del tensor de deformación finita (tenga en cuenta que las minúsculasse han utilizado en esta sección en comparación con las mayúsculas en la página de deformaciones finitas ) la ecuación constitutiva
dónde
y los términos de orden superior se han descuidado [7] [8] (consulte [9] para obtener derivaciones detalladas). Para referenciaM al descuidar los términos de orden superior en esta expresión se reduce a que es una versión de la ley de Hooke generalizada donde es una medida de estrés mientras es una medida de tensión, y es la relación lineal entre ellos.
Velocidad del sonido
Suponiendo que una pequeña deformación dinámica (acústica) perturbe un material que ya está estresado estáticamente, el efecto acústico elástico puede considerarse como el efecto de una pequeña deformación superpuesta a una deformación finita más grande (también llamada teoría de pequeño sobre grande). [8] Definamos tres estados de un punto material dado. En el estado de referencia (sin tensión), el punto está definido por el vector de coordenadas mientras que el mismo punto tiene el vector de coordenadas en el estado estático inicialmente estresado (es decir, bajo la influencia de un pretensado aplicado). Finalmente, suponga que el punto material bajo una pequeña perturbación dinámica (campo de tensión acústica) tiene el vector de coordenadas. El desplazamiento total de los puntos del material (bajo la influencia de una tensión previa estática y una perturbación acústica dinámica) puede describirse mediante los vectores de desplazamiento.
dónde
describe el desplazamiento inicial estático (lagrangiano) debido a la tensión previa aplicada y el desplazamiento (euleriano) debido a la perturbación acústica, respectivamente. Primera ley de movimiento de Cauchy (o equilibrio del momento lineal) para la perturbación euleriana adicional luego se puede derivar en términos de la deformación lagrangiana intermedia asumiendo que el supuesto de pequeño sobre grande
sostiene. Usando la forma lagrangiana de la primera ley de movimiento de Cauchy , donde se ha despreciado el efecto de una fuerza corporal constante (es decir, la gravedad), se obtiene
- Tenga en cuenta que el subíndice / superíndice "0" se utiliza en este texto para indicar el estado de referencia sin estrés, y una variable con puntos es, como de costumbre, la hora ( t {\ Displaystyle t} ) derivada de la variable, y es el operador de divergencia con respecto al sistema de coordenadas de Lagrange .
El lado derecho (la parte dependiente del tiempo) de la ley del movimiento se puede expresar como
bajo el supuesto de que tanto el estado sin tensión como el estado de deformación inicial son estáticos y, por lo tanto, .
Para el lado izquierdo (la parte dependiente del espacio) las derivadas parciales espaciales de Lagrange con respecto ase puede ampliar en el euleriano usando la regla de la cadena y cambiando las variables a través de la relación entre los vectores de desplazamiento como [8]
donde la forma corta ha sido usado. Por lo tanto
Suponiendo además que la deformación inicial estática (el estado pretensado) está en equilibrio significa que, y la ley del movimiento puede, en combinación con la ecuación constitutiva dada anteriormente, reducirse a una relación lineal (es decir, donde términos de orden superior en ) entre la deformación inicial estática y la perturbación dinámica adicional como [7] (consulte [9] para obtener derivaciones detalladas)
dónde
Esta expresión se reconoce como la ecuación de onda lineal . Considerando una onda plana de la forma
dónde es un vector unitario de Lagrange en la dirección de propagación (es decir, paralelo al número de onda normal al frente de onda,), es un vector unitario denominado vector de polarización (que describe la dirección del movimiento de las partículas), es la velocidad de la onda de fase, y es una función diferenciable dos veces de forma continua (por ejemplo, una función sinusoidal ). Al insertar esta onda plana en la ecuación de onda lineal derivada anteriormente se obtiene [10]
dónde se introduce como tensor acústico y depende de como [10]
Esta expresión se llama condición de propagación y determina para una dirección de propagación dadala velocidad y polarización de posibles ondas correspondientes a ondas planas. Las velocidades de onda se pueden determinar mediante la ecuación característica [10]
dónde es el determinante yes la matriz de identidad .
Para un material hiperelástico es simétrico (pero no en general), y los valores propios () son, por tanto, reales. Para que las velocidades de onda también sean reales, los valores propios deben ser positivos. [1] Si este es el caso, existen tres ondas planas reales mutuamente ortogonales para la dirección de propagación dada.. De las dos expresiones del tensor acústico queda claro que [10]
y la desigualdad (también llamada condición de elipticidad fuerte) para todos los vectores distintos de cero y Garantizar que la velocidad de ondas planas homogéneas sea real. La polarizacióncorresponde a una onda longitudinal donde el movimiento de las partículas es paralelo a la dirección de propagación (también conocida como onda de compresión). Las dos polarizaciones dondecorresponde a ondas transversales donde el movimiento de las partículas es ortogonal a la dirección de propagación (también conocidas como ondas de corte). [10]
Materiales isotrópicos
Módulos elásticos para materiales isotrópicos
Para un tensor isotrópico de segundo orden (es decir, un tensor que tiene los mismos componentes en cualquier sistema de coordenadas) como el tensor de deformación lagrangiano tener las invariantes dónde es el operador de seguimiento , y. La función de energía de deformación de un material isotrópico se puede expresar por, o una superposición de, que se puede reescribir como [8]
dónde son constantes. Las constantes y son los módulos elásticos de segundo orden mejor conocidos como los parámetros de Lamé , mientras que y son los módulos elásticos de tercer orden introducidos por, [11] que son alternativos pero equivalentes a y presentado por Murnaghan. [4] Combinando esto con la expresión general para la función de energía de deformación, queda claro que [8]
dónde . Históricamente, se ha utilizado una selección diferente de estas constantes elásticas de tercer orden, y algunas de las variaciones se muestran en la Tabla 1.
Landau y Lifshitz (1986) [11] | Toupin y Bernstein (1961) [12] | Murnaghan (1951) [4] | Soso (1969) [13] | Eringen y Suhubi (1974) [14] | Estándar C I J K {\ Displaystyle C_ {IJK}} | |
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Valores de ejemplo para acero
Las tablas 2 y 3 presentan las constantes elásticas de segundo y tercer orden para algunos tipos de acero presentados en la literatura.
Constantes de Lamé | Constantes de Toupin y Bernstein | ||||
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Material | |||||
Hecla 37 (0,4% C) [15] | |||||
Hecla 37 (0,6% C) [15] | |||||
Hecla 138A [15] | |||||
Acero Rex 535 Ni [15] | |||||
Hecla ATV austenítico [15] |
Constantes de Lamé | Constantes de Murnaghan | ||||
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Material | |||||
Níquel-acero S / NVT [16] | |||||
Muestra de acero de carril 1 [17] | |||||
Muestra de acero de carril 4 [17] |
Acustoelasticidad para tensión uniaxial de materiales hiperelásticos isotrópicos
Una muestra cuboidal de un sólido comprimible en una configuración de referencia sin estrés se puede expresar mediante las coordenadas cartesianas., donde la geometría está alineada con el sistema de coordenadas de Lagrange, y es la longitud de los lados del paralelepípedo en la configuración de referencia. Someter el cuboides a una tensión uniaxial en el-dirección para que se deforme con una deformación homogénea pura de modo que las coordenadas de los puntos del material en la configuración deformada se puedan expresar mediante , que da los alargamientos
en el -dirección. Aquí significa la longitud actual (deformada) del lado cuboide y donde la relación entre la longitud de los lados en la configuración actual y de referencia se denota por
llamados los tramos principales. Para un material isotrópico, esto corresponde a una deformación sin rotación (Ver descomposición polar del tensor de gradiente de deformación donde y la rotacion ). Esto se puede describir a través de la representación espectral de los tramos principales. como valores propios, o equivalentemente por los alargamientos .
Para una tensión uniaxial en el -dirección ( asumimos que el aumentar en cierta cantidad. Si las caras laterales están libres de tracción (es decir,) los alargamientos laterales y están limitados al rango . Para la simetría isotrópica, los alargamientos laterales (o contracciones) también deben ser iguales (es decir,). El rango corresponde al rango de la contracción lateral total (, que no es físico), y sin cambios en las dimensiones laterales (). Se observa que, teóricamente, el rango podría ampliarse a valores superiores a 0 correspondientes a un aumento de las dimensiones laterales como resultado del aumento de la dimensión axial. Sin embargo, muy pocos materiales (llamados materiales auxéticos ) exhiben esta propiedad.
Expansión de las velocidades del sonido
Si la condición de elipticidad fuerte () se mantiene, tres direcciones de polarización ortogonal ( dará una velocidad de sonido real y no nula para una dirección de propagación dada . A continuación se derivarán las velocidades del sonido para la selección de la tensión uniaxial aplicada, la dirección de propagación y un conjunto ortonormal de vectores de polarización. Para una tensión uniaxial aplicada en el-dirección, y derivar las velocidades del sonido para ondas que se propagan ortogonalmente a la tensión aplicada (por ejemplo, en el -dirección con vector de propagación ), una selección de polarizaciones ortonormales puede ser
que da las tres velocidades del sonido
donde el primer índice de las velocidades del sonido indicar la dirección de propagación (aquí el -dirección, mientras que el segundo índice indicar la dirección de polarización seleccionada ( corresponde al movimiento de las partículas en la dirección de propagación - es decir, onda longitudinal, y corresponde al movimiento de las partículas perpendicular a la dirección de propagación, es decir, onda de corte).
Expandiendo los coeficientes relevantes del tensor acústico y sustituyendo los módulos elásticos de segundo y tercer orden y con sus equivalentes isotrópicos, y respectivamente, conduce a las velocidades del sonido expresadas como
dónde
son los coeficientes acustoelásticos relacionados con los efectos de las constantes elásticas de tercer orden. [18]
Métodos de medición
Para poder medir la velocidad del sonido, y más específicamente el cambio en la velocidad del sonido, en un material sometido a algún estado de estrés, se puede medir la velocidad de una señal acústica que se propaga a través del material en cuestión. Hay varios métodos para hacer esto, pero todos utilizan una de las dos relaciones físicas de la velocidad del sonido. La primera relación está relacionada con el tiempo que tarda una señal en propagarse de un punto a otro (normalmente la distancia entre dos transductores acústicos o dos veces la distancia de un transductor a una superficie reflectante). Esto a menudo se conoce como mediciones de "tiempo de vuelo" (TOF) y utiliza la relación
dónde es la distancia que recorre la señal y es el tiempo que se tarda en recorrer esta distancia. La segunda relación está relacionada con la inversa del tiempo, la frecuencia , de la señal. La relación aquí es
dónde es la frecuencia de la señal y es la longitud de onda . Las mediciones que utilizan la frecuencia como mensurando utilizan el fenómeno de resonancia acústica dondeEl número de longitudes de onda coincide con la longitud sobre la que resuena la señal. Ambos métodos dependen de la distancia sobre la que midan, ya sea directamente como en el tiempo de vuelo, o indirectamente a través del número de longitudes de onda coincidentes sobre la extensión física de la muestra que resuena.
Ejemplo de técnicas de prueba ultrasónicas
En general, hay dos formas de configurar un sistema de transductor para medir la velocidad del sonido en un sólido. Uno es una configuración con dos o más transductores donde uno actúa como transmisor, mientras que el otro actúa como receptor. La medición de la velocidad del sonido se puede realizar midiendo el tiempo entre que se genera una señal en el transmisor y cuando se registra en el receptor, asumiendo que se conoce (o mide) la distancia que la señal acústica ha viajado entre los transductores, o viceversa. Mida la frecuencia de resonancia conociendo el espesor sobre el que resuena la onda. El otro tipo de configuración a menudo se denomina sistema de pulso-eco . Aquí se coloca un transductor cerca de la muestra que actúa como transmisor y receptor. Esto requiere una interfaz reflectante en la que la señal generada pueda reflejarse hacia el transductor, que luego actúa como un receptor que registra la señal reflejada. Consulte las pruebas ultrasónicas para algunos sistemas de medición.
Ondas de corte longitudinal y polarizadas
Como se explicó anteriormente, un conjunto de tres polarizaciones ortonormales () del movimiento de las partículas existen para una dirección de propagación dada en un sólido. Para configuraciones de medición donde los transductores se pueden fijar directamente a la muestra bajo investigación, es posible crear estas tres polarizaciones (una longitudinal y dos ondas transversales ortogonales) aplicando diferentes tipos de transductores que excitan la polarización deseada (por ejemplo, transductores piezoeléctricos con la necesaria modo de oscilación ). Por lo tanto, es posible medir la velocidad del sonido de las ondas con las tres polarizaciones a través de configuraciones de medición dependientes del tiempo o dependientes de la frecuencia, dependiendo de la selección de los tipos de transductores. Sin embargo, si el transductor no se puede fijar a la muestra de prueba, se necesita un medio de acoplamiento para transmitir la energía acústica desde el transductor a la muestra. A menudo se utilizan agua o geles como este medio de acoplamiento. Para medir la velocidad del sonido longitudinal, esto es suficiente, sin embargo, los fluidos no transportan ondas de corte y, por lo tanto, para poder generar y medir la velocidad de las ondas de corte en la muestra de prueba, la onda longitudinal incidente debe interactuar en un ángulo oblicuo con el fluido. / superficie sólida para generar ondas de corte a través de la conversión de modo . A continuación, dichas ondas de corte se vuelven a convertir en ondas longitudinales en la superficie del sólido / fluido que se propagan de regreso a través del fluido hasta el transductor de registro, lo que permite medir las velocidades de las ondas de corte también a través de un medio de acoplamiento.
Aplicaciones
Material de ingeniería: estimación de tensiones
A medida que la industria se esfuerza por reducir los costos de mantenimiento y reparación, las pruebas no destructivas de estructuras se vuelven cada vez más valoradas tanto en el control de la producción como como un medio para medir la utilización y el estado de la infraestructura clave. Existen varias técnicas de medición para medir la tensión en un material . Sin embargo, las técnicas que utilizan mediciones ópticas , mediciones magnéticas , difracción de rayos X y difracción de neutrones se limitan a medir tensiones o deformaciones superficiales o cercanas a la superficie. Las ondas acústicas se propagan con facilidad a través de los materiales y, por lo tanto, proporcionan un medio para sondear el interior de las estructuras, donde el nivel de tensión y deformación es importante para la integridad estructural general . Dado que la velocidad del sonido de dichos materiales elásticos no lineales (incluidos los materiales de construcción comunes como el aluminio y el acero ) tiene una dependencia de la tensión, una aplicación del efecto acústicoelástico puede ser la medición del estado de tensión en el interior de un material cargado utilizando diferentes sondas acústicas. (por ejemplo, pruebas ultrasónicas ) para medir el cambio en las velocidades del sonido.
Materiales granulares y porosos - geofísica
La sismología estudia la propagación de ondas elásticas a través de la Tierra y se utiliza, por ejemplo, en estudios de terremotos y en la cartografía del interior de la Tierra . El interior de la Tierra está sometido a diferentes presiones y, por lo tanto, las señales acústicas pueden atravesar los medios en diferentes estados de estrés. Por tanto, la teoría acústicoelástica puede ser de interés práctico cuando se puede utilizar el comportamiento de onda no lineal para estimar propiedades geofísicas. [8]
Tejidos blandos - ultrasonidos médicos
Otras aplicaciones pueden ser en ecografía médica y elastografía midiendo el nivel de tensión o presión en tipos de tejido elástico relevantes (por ejemplo, [19] [20] [21] ), mejorando el diagnóstico no invasivo .
Ver también
- Acustoelastografía
- Deformación finita
- Velocidad del sonido
- Prueba de ultrasonido
Referencias
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