Adición

Operación aritmética

3 + 2 = 5 con manzanas , una opción popular en los libros de texto ^[1]

La suma (generalmente representada por el símbolo más + ) es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética , las otras tres son la resta , la multiplicación y la división . La suma de dos números enteros da como resultado la cantidad total o la suma de esos valores combinados. El ejemplo de la imagen adyacente muestra una combinación de tres manzanas y dos manzanas, lo que hace un total de cinco manzanas. Esta observación es equivalente a la expresión matemática "3 + 2 = 5" (es decir, "3 más 2 es igual a 5").

Además de contar elementos, la suma también se puede definir y ejecutar sin hacer referencia a objetos concretos , utilizando abstracciones llamadas números en su lugar, como enteros , números reales y números complejos . La suma pertenece a la aritmética, una rama de las matemáticas . En álgebra , otra área de las matemáticas, la suma también se puede realizar en objetos abstractos como vectores , matrices , subespacios y subgrupos . ^[2]

La adición tiene varias propiedades importantes. Es conmutativo , lo que significa que el orden no importa, y es asociativo , lo que significa que cuando uno suma más de dos números, el orden en el que se realiza la suma no importa (ver Suma ). La suma repetida de 1 es lo mismo que contar; la suma de 0 no cambia un número. La suma también obedece a reglas predecibles relativas a operaciones relacionadas como la resta y la multiplicación.

Realizar sumas es una de las tareas numéricas más simples. La adición de números muy pequeños es accesible para los niños pequeños; la tarea más básica, 1 + 1 , la pueden realizar bebés de hasta cinco meses, e incluso algunos miembros de otras especies animales. En la educación primaria , a los estudiantes se les enseña a sumar números en el sistema decimal , comenzando con un solo dígito y abordando progresivamente problemas más difíciles. Las ayudas mecánicas van desde el antiguo ábaco hasta la computadora moderna , donde la investigación sobre las implementaciones más eficientes de la adición continúa hasta el día de hoy.

Operaciones aritmeticas v t mi

Suma (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,+\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{summand}}\,+\,{\text{summand}}\\\scriptstyle {\text{addend}}\,+\,{\text{addend}}\\\scriptstyle {\text{augend}}\,+\,{\text{addend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{sum}}}$ Resta (-) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,-\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{minuend}}\,-\,{\text{subtrahend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{difference}}}$ Multiplicación (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\\\scriptstyle {\text{multiplier}}\,\times \,{\text{multiplicand}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}}$ División (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividend}}}{\scriptstyle {\text{divisor}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{numerator}}}{\scriptstyle {\text{denominator}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{fraction}}\\\scriptstyle {\text{quotient}}\\\scriptstyle {\text{ratio}}\end{matrix}}}$ Exponenciación ${\displaystyle \scriptstyle {\text{base}}^{\text{exponent}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}}$ n º raíz (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{degree}}]{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}}$ Logaritmo (log) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-logarithm}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithm}}}$

Notación y terminología

El signo mas

La suma se escribe usando el signo más "+" entre los términos; ^{[2] [3]} es decir, en notación infija . El resultado se expresa con un signo igual . Por ejemplo,

${\displaystyle 1+1=2}$ ("uno mas uno es igual a dos")

${\displaystyle 2+2=4}$ ("dos más dos es igual a cuatro")

${\displaystyle 1+2=3}$ ("uno más dos es igual a tres")

${\displaystyle 5+4+2=11}$(ver "asociatividad" a continuación )

${\displaystyle 3+3+3+3=12}$(ver "multiplicación" a continuación )

Suma de columnas: los números de la columna deben agregarse, con la suma escrita debajo del número subrayado .

También hay situaciones en las que se "entiende" la suma, aunque no aparezca ningún símbolo:

• Un número entero seguido inmediatamente por una fracción indica la suma de los dos, llamado número mixto . ^[4] Por ejemplo,
        3½ = 3 + ½ = 3,5.
  Esta notación puede causar confusión, ya que en la mayoría de los otros contextos, la yuxtaposición denota multiplicación . ^[5]

La suma de una serie de números relacionados se puede expresar mediante la notación sigma mayúscula , que denota de forma compacta la iteración . Por ejemplo,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.}$

Los números o los objetos que se van a sumar en la suma general se denominan colectivamente los términos , ^[6] los sumandos ^{[7] [8] [9]} o los sumandos ; ^[10] esta terminología se traslada a la suma de varios términos. Esto debe distinguirse de los factores , que se multiplican . Algunos autores llaman al primer sumando la leyenda . ^{[7] [8] [9]} De hecho, durante el Renacimiento , muchos autores no consideraron el primer sumando un "sumando" en absoluto. Hoy, debido a la propiedad conmutativaAdemás, "augend" rara vez se usa, y ambos términos se denominan generalmente sumandos. ^[11]

Toda la terminología anterior se deriva del latín . " Adición " y " agregar " son palabras en inglés derivadas del verbo latino addere , que a su vez es un compuesto de ad "to" y dare "to give", de la raíz protoindoeuropea * deh₃- "to give" ; por tanto, sumar es dar a . ^{[11] El} uso del sufijo gerundivo -nd da como resultado "sumando", "cosa a agregar". ^[a] Asimismo de augere "aumentar", se obtiene "augend", "cosa que aumentará".

Ilustración rediseñada de The Art of Nombryng , uno de los primeros textos aritméticos en inglés, en el siglo XV. ^[12]

"Sum" y "summand" derivan del sustantivo latino summa "el más alto, el superior" y el verbo asociado summare . Esto es apropiado no solo porque la suma de dos números positivos es mayor que cualquiera de los dos, sino porque era común que los antiguos griegos y romanos sumaran hacia arriba, contrariamente a la práctica moderna de sumar hacia abajo, de modo que una suma era literalmente mayor que el sumandos. ^[13] Addere y summare se remontan al menos a Boecio , si no a escritores romanos anteriores como Vitruvio y Frontino ; Boecio también usó varios otros términos para la operación de suma. La tardiaChaucer popularizó los términos en inglés medio "adden" y "added" . ^[14]

El signo más "+" ( Unicode : U + 002B; ASCII : +) es una abreviatura de la palabra latina et , que significa "y". ^[15] Aparece en trabajos matemáticos que se remontan al menos a 1489. ^[16]

Interpretaciones

La suma se utiliza para modelar muchos procesos físicos. Incluso para el simple caso de sumar números naturales , hay muchas interpretaciones posibles e incluso más representaciones visuales.

Combinando conjuntos

Posiblemente, la interpretación más fundamental de la suma radica en combinar conjuntos:

• Cuando dos o más colecciones disjuntas se combinan en una sola colección, el número de objetos en la colección única es la suma de los números de objetos en las colecciones originales.

Esta interpretación es fácil de visualizar, con poco peligro de ambigüedad. También es útil en matemáticas superiores (para la definición rigurosa que inspira, consulte § Números naturales a continuación). Sin embargo, no es obvio cómo se debe extender esta versión de la suma para incluir números fraccionarios o números negativos. ^[17]

Una posible solución es considerar colecciones de objetos que se pueden dividir fácilmente, como tartas o, mejor aún, barras segmentadas. ^[18] En lugar de combinar únicamente conjuntos de segmentos, las varillas se pueden unir de un extremo a otro, lo que ilustra otra concepción de la adición: agregar no las varillas sino las longitudes de las varillas.

Ampliando una longitud

Una visualización en línea numérica de la suma algebraica 2 + 4 = 6. Una traducción de 2 seguida de una traducción de 4 es lo mismo que una traducción de 6.

Una visualización de la recta numérica de la suma unaria 2 + 4 = 6. Una traslación de 4 equivale a cuatro traslaciones de 1.

Una segunda interpretación de la suma proviene de extender una longitud inicial por una longitud determinada:

• Cuando una longitud original se extiende en una cantidad determinada, la longitud final es la suma de la longitud original y la longitud de la extensión. ^[19]

La suma un + b se puede interpretar como una operación binaria que combina un y b , en un sentido algebraico, o que pueden ser interpretadas como la adición de b más unidades a una . Según la última interpretación, las partes de una suma a + b desempeñan papeles asimétricos, y se considera que la operación a + b aplica la operación unaria + b a a . ^[20] En lugar de llamar tanto a y b sumandos, es más apropiado llamara la leyenda en este caso, ya que a juega un papel pasivo. La vista unaria también es útil cuando se habla de resta , porque cada operación de suma unaria tiene una operación de resta unaria inversa, y viceversa .

Propiedades

Conmutatividad

4 + 2 = 2 + 4 con bloques

La suma es conmutativa , lo que significa que uno puede cambiar el orden de los términos en una suma, pero aún así obtener el mismo resultado. Simbólicamente, si un y b son dos números, entonces

a + b = b + a .

El hecho de que la adición sea conmutativa se conoce como "ley conmutativa de la adición" o "propiedad conmutativa de la adición". Algunas otras operaciones binarias son conmutativas, como la multiplicación, pero muchas otras no lo son, como la resta y la división.

Asociatividad

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 con varillas segmentadas

La suma es asociativa , lo que significa que cuando se suman tres o más números, el orden de las operaciones no cambia el resultado.

Como ejemplo, ¿debería definirse la expresión a + b + c para que signifique ( a + b ) + c o a + ( b + c )? Dado que la suma es asociativa, la elección de la definición es irrelevante. Para cualquier tres números a , b , y c , es cierto que ( a + b ) + c = un + ( b + c ) . Por ejemplo, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) .

Cuando la suma se usa junto con otras operaciones, el orden de las operaciones se vuelve importante. En el orden estándar de operaciones, la suma tiene una prioridad menor que la exponenciación , las raíces n-ésimas , la multiplicación y la división, pero se le da la misma prioridad que la resta. ^[21]

Elemento de identidad

5 + 0 = 5 con bolsas de puntos

Al agregar cero a cualquier número, la cantidad no cambia; cero es el elemento de identidad para la adición, también conocido como identidad aditiva . En símbolos, para cualquier a ,

a + 0 = 0 + a = a .

Esta ley fue identificado por primera vez en Brahmagupta 's Brahmasphutasiddhanta en el año 628 dC, aunque él escribió como tres leyes distintas, dependiendo de si una es negativo, positivo o cero en sí, y usó palabras en lugar de símbolos algebraicos. Los matemáticos indios posteriores refinaron el concepto; alrededor del año 830, escribió Mahavira , "cero se vuelve lo mismo que lo que se le agrega", correspondiente al enunciado unario 0 + a = a . En el siglo XII, Bhaskara escribió: "En la adición de cifrado o sustracción, la cantidad, positiva o negativa, permanece igual", correspondiente al enunciado unario a+ 0 = a . ^[22]

Sucesor

Dentro del contexto de los enteros, la suma de uno también juega un papel especial: para cualquier entero a , el entero ( a + 1) es el menor número entero mayor que a , también conocido como el sucesor de a . ^[23] Por ejemplo, 3 es el sucesor de 2 y 7 es el sucesor de 6. Debido a esta sucesión, el valor de a + b también puede verse como el b ésimo sucesor de a , lo que hace que la adición sea una sucesión iterada. Por ejemplo, 6 + 2 es 8, porque 8 es el sucesor de 7, que es el sucesor de 6, por lo que 8 es el segundo sucesor de 6.

Unidades

Para sumar numéricamente cantidades físicas con unidades , deben expresarse con unidades comunes. ^[24] Por ejemplo, agregar 50 mililitros a 150 mililitros da 200 mililitros. Sin embargo, si una medida de 5 pies se extiende por 2 pulgadas, la suma es 62 pulgadas, ya que 60 pulgadas es sinónimo de 5 pies. Por otro lado, no suele tener sentido intentar sumar 3 metros y 4 metros cuadrados, ya que esas unidades son incomparables; este tipo de consideración es fundamental en el análisis dimensional .

Realización de adición

Habilidad innata

Los estudios sobre el desarrollo matemático que comenzaron alrededor de la década de 1980 han explotado el fenómeno de la habituación : los bebés miran por más tiempo situaciones que son inesperadas. ^[25] Un experimento seminal de Karen Wynn en 1992 con muñecos de Mickey Mouse manipulados detrás de una pantalla demostró que los bebés de cinco meses esperan que 1 + 1 sea ​​2, y se sorprenden comparativamente cuando una situación física parece implicar que 1 + 1 es 1 o 3. Este hallazgo ha sido confirmado desde entonces por una variedad de laboratorios que utilizan diferentes metodologías. ^[26] Otro experimento de 1992 con niños mayores, entre los 18 y los 35 meses, explotó su desarrollo del control motor al permitirles sacar pelotas de ping-pong de una caja; los más jóvenes respondieron bien para números pequeños, mientras que los sujetos mayores pudieron calcular sumas de hasta 5. ^[27]

Incluso algunos animales no humanos muestran una capacidad limitada para agregar, particularmente los primates . En un experimento de 1995 que imitó el resultado de Wynn en 1992 (pero usando berenjenas en lugar de muñecas), los monos macacos rhesus y tamarinos de cabeza blanca se comportaron de manera similar a los bebés humanos. Más dramáticamente, después de que le enseñaron el significado de los números arábigos del 0 al 4, un chimpancé pudo calcular la suma de dos números sin más entrenamiento. ^[28] Más recientemente, los elefantes asiáticos han demostrado una capacidad para realizar aritmética básica. ^[29]

Aprendizaje infantil

Por lo general, los niños primero dominan el conteo . Cuando se les presenta un problema que requiere que se combinen dos elementos y tres elementos, los niños pequeños modelan la situación con objetos físicos, a menudo dedos o un dibujo, y luego cuentan el total. A medida que adquieren experiencia, aprenden o descubren la estrategia de "contar": cuando se les pide que encuentren dos más tres, los niños cuentan tres y dos, dicen "tres, cuatro, cinco " (generalmente haciendo tictac en los dedos) y llegan a cinco . Esta estrategia parece casi universal; los niños pueden captarlo fácilmente de sus compañeros o maestros. ^[30]La mayoría lo descubre de forma independiente. Con experiencia adicional, los niños aprenden a sumar más rápidamente explotando la conmutatividad de la suma contando desde el número mayor, en este caso, comenzando con tres y contando "cuatro, cinco ". Con el tiempo, los niños comienzan a recordar ciertas sumas (" vínculos numéricos "), ya sea a través de la experiencia o de la memorización. Una vez que algunos hechos se memorizan, los niños comienzan a derivar hechos desconocidos de otros conocidos. Por ejemplo, un niño al que se le pide que sume seis y siete puede saber que 6 + 6 = 12 y luego razonar que 6 + 7 es uno más, o 13. ^[31]Estos hechos derivados se pueden encontrar muy rápidamente y la mayoría de los estudiantes de escuela primaria eventualmente confían en una combinación de hechos memorizados y derivados para agregarlos con fluidez. ^[32]

Diferentes naciones introducen números enteros y aritmética en diferentes edades, y muchos países enseñan la suma en la educación preescolar. ^[33] Sin embargo, en todo el mundo, la adición se enseña al final del primer año de la escuela primaria. ^[34]

Mesa

A los niños a menudo se les presenta la tabla de suma de pares de números del 0 al 9 para que los memoricen. Sabiendo esto, los niños pueden realizar cualquier adición.

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	dieciséis
8	8	9	10	11	12	13	14	15	dieciséis	17
9	9	10	11	12	13	14	15	dieciséis	17	18

Sistema decimal

El prerrequisito para la suma en el sistema decimal es recordar o derivar con fluidez los 100 "hechos de suma" de un solo dígito. Uno podría memorizar todos los hechos de memoria , pero las estrategias basadas en patrones son más esclarecedoras y, para la mayoría de las personas, más eficientes: ^[35]

• Propiedad conmutativa : mencionada anteriormente, el uso del patrón a + b = b + a reduce el número de "hechos de suma" de 100 a 55.
• Uno o dos más : Sumar 1 o 2 es una tarea básica y se puede lograr contando o, en última instancia, con la intuición . ^[35]
• Cero : dado que cero es la identidad aditiva, sumar cero es trivial. No obstante, en la enseñanza de la aritmética, a algunos estudiantes se les presenta la suma como un proceso que siempre aumenta los sumandos; Los problemas de palabras pueden ayudar a racionalizar la "excepción" de cero. ^[35]
• Dobles : Sumar un número a sí mismo está relacionado con contar de dos en dos y con la multiplicación . Los datos dobles forman la columna vertebral de muchos hechos relacionados, y los estudiantes los encuentran relativamente fáciles de comprender. ^[35]
• Casi dobles : Sumas como 6 + 7 = 13 se pueden derivar rápidamente del hecho de dobles 6 + 6 = 12 sumando uno más, o de 7 + 7 = 14 pero restando uno. ^[35]
• Cinco y diez : las sumas de la forma 5 + x y 10 + x generalmente se memorizan temprano y se pueden usar para derivar otros hechos. Por ejemplo, 6 + 7 = 13 se puede derivar de 5 + 7 = 12 agregando uno más. ^[35]
• Hacer diez : una estrategia avanzada utiliza 10 como intermedio para sumas que involucran 8 o 9; por ejemplo, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 . ^[35]

A medida que los estudiantes crecen, memorizan más hechos y aprenden a derivar otros hechos de manera rápida y fluida. Muchos estudiantes nunca memorizan todos los hechos, pero aun así pueden encontrar rápidamente cualquier hecho básico. ^[32]

Llevar

El algoritmo estándar para agregar números de varios dígitos es alinear los sumandos verticalmente y agregar las columnas, comenzando por la columna de las unidades a la derecha. Si una columna excede de nueve, el dígito adicional se " traslada " a la siguiente columna. Por ejemplo, en la suma 27 + 59

 ¹ 27
+ 59
———— 86

7 + 9 = 16, y el dígito 1 es el acarreo. ^[b] Una estrategia alternativa comienza a sumar desde el dígito más significativo de la izquierda; esta ruta hace que el transporte sea un poco más torpe, pero es más rápido para obtener una estimación aproximada de la suma. Existen muchos métodos alternativos.

Fracciones decimales

Las fracciones decimales se pueden sumar mediante una simple modificación del proceso anterior. ^[36] Uno alinea dos fracciones decimales una encima de la otra, con el punto decimal en la misma ubicación. Si es necesario, se pueden agregar ceros finales a un decimal más corto para que tenga la misma longitud que el decimal más largo. Finalmente, se realiza el mismo proceso de suma que el anterior, excepto que el punto decimal se coloca en la respuesta, exactamente donde se colocó en los sumandos.

Como ejemplo, 45.1 + 4.34 se puede resolver de la siguiente manera:

 4 5. 1 0
+ 0 4. 3 4
———————————— 4 9. 4 4

Notación científica

En notación científica , los números se escriben en la forma${\displaystyle x=a\times 10^{b}}$, donde ${\displaystyle a}$ es el significado y ${\displaystyle 10^{b}}$es la parte exponencial. La suma requiere que dos números en notación científica se representen usando la misma parte exponencial, de modo que los dos significados simplemente se puedan sumar.

Por ejemplo:

${\displaystyle 2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}}$

No decimal

La suma en otras bases es muy similar a la suma decimal. Como ejemplo, se puede considerar la suma en binario. ^[37] Agregar dos números binarios de un solo dígito es relativamente simple, usando una forma de llevar:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, lleva 1 (ya que 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 ¹ ))

Agregar dos dígitos "1" produce un dígito "0", mientras que se debe agregar 1 a la siguiente columna. Esto es similar a lo que sucede en decimal cuando se suman ciertos números de un solo dígito; si el resultado es igual o superior al valor de la base (10), el dígito de la izquierda se incrementa:

5 + 5 → 0, lleva 1 (ya que 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 ¹ ))

7 + 9 → 6, lleva 1 (ya que 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 ¹ ))

Esto se conoce como llevar . ^[38] Cuando el resultado de una suma excede el valor de un dígito, el procedimiento es "llevar" la cantidad excedente dividida por la base (es decir, 10/10) a la izquierda, sumándola al siguiente valor posicional. Esto es correcto ya que la siguiente posición tiene un peso mayor en un factor igual a la base. El transporte funciona de la misma manera en binario:

 1 1 1 1 1 (dígitos llevados) 0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36

En este ejemplo, se suman dos números: 01101 ₂ (13 ₁₀ ) y 10111 ₂ (23 ₁₀ ). La fila superior muestra los bits de acarreo utilizados. Comenzando en la columna de la derecha, 1 + 1 = 10 ₂ . El 1 se lleva a la izquierda y el 0 se escribe en la parte inferior de la columna más a la derecha. Se agrega la segunda columna de la derecha: 1 + 0 + 1 = 10 ₂ nuevamente; se lleva el 1 y se escribe 0 en la parte inferior. La tercera columna: 1 + 1 + 1 = 11 ₂ . Esta vez, se lleva un 1 y se escribe un 1 en la fila inferior. Proceder así da la respuesta final 100100 ₂ (36 ₁₀ ).

Computadoras

Además con un amplificador operacional. Consulte Amplificador sumador para obtener más detalles.

Las computadoras analógicas trabajan directamente con cantidades físicas, por lo que sus mecanismos de adición dependen de la forma de los sumandos. Un sumador mecánico podría representar dos sumandos como las posiciones de los bloques deslizantes, en cuyo caso se pueden agregar con una palanca promediadora . Si los sumandos son las velocidades de rotación de dos ejes , se pueden agregar con un diferencial . Un sumador hidráulico puede sumar las presiones en dos cámaras explotando la segunda ley de Newton para equilibrar las fuerzas en un conjunto de pistones . La situación más común para una computadora analógica de propósito general es agregar dos voltajes (referidos a tierra); esto se puede lograr aproximadamente con una red de resistencias , pero un mejor diseño aprovecha un amplificador operacional . ^[39]

La adición también es fundamental para el funcionamiento de las computadoras digitales , donde la eficiencia de la adición, en particular el mecanismo de transporte , es una limitación importante para el rendimiento general.

Parte del motor diferencial de Charles Babbage, incluidos los mecanismos de adición y transporte

El ábaco , también llamado marco de conteo, es una herramienta de cálculo que se usó siglos antes de la adopción del sistema numérico moderno escrito y todavía es ampliamente utilizado por comerciantes, comerciantes y empleados en Asia , África y otros lugares; se remonta al menos al 2700 al 2300 a. C., cuando se usó en Sumer . ^[40]

Blaise Pascal inventó la calculadora mecánica en 1642; ^[41] fue la primera máquina sumadora operativa . Hizo uso de un mecanismo de transporte asistido por gravedad. Fue la única calculadora mecánica operativa en el siglo XVII ^[42] y la primera computadora digital automática. La calculadora de Pascal estaba limitada por su mecanismo de transporte, que obligaba a sus ruedas a girar solo en una dirección para poder agregar. Para restar, el operador tenía que usar el complemento de la calculadora de Pascal , que requería tantos pasos como una suma. Giovanni Poleni Siguió a Pascal, construyendo la segunda calculadora mecánica funcional en 1709, un reloj calculador hecho de madera que, una vez configurado, podía multiplicar dos números automáticamente.

" Sumador completo circuito" lógica que añade dos dígitos binarios, A y B , junto con una entrada de acarreo C _en , produciendo el bit de suma, S , y una salida de acarreo, C _fuera .

Los sumadores ejecutan sumas de enteros en computadoras digitales electrónicas, generalmente usando aritmética binaria . La arquitectura más simple es el sumador de acarreo de ondulación, que sigue el algoritmo estándar de varios dígitos. Una ligera mejora es el diseño de salto de carga , de nuevo siguiendo la intuición humana; uno no realiza todos los acarreos en el cálculo de 999 + 1 , pero se pasa por alto el grupo de 9 y salta a la respuesta. ^[43]

En la práctica, la suma computacional se puede lograr mediante operaciones lógicas XOR y AND bit a bit junto con operaciones de desplazamiento de bits, como se muestra en el pseudocódigo siguiente. Tanto las puertas XOR como las AND son fáciles de realizar en lógica digital, lo que permite la realización de circuitos sumadores completos que, a su vez, pueden combinarse en operaciones lógicas más complejas. En las computadoras digitales modernas, la suma de enteros suele ser la instrucción aritmética más rápida, pero tiene el mayor impacto en el rendimiento, ya que subyace a todas las operaciones de punto flotante, así como a tareas básicas como la generación de direcciones durante el acceso a la memoria y la obtención de instrucciones durante el proceso.ramificación . Para aumentar la velocidad, los diseños modernos calculan dígitos en paralelo ; estos esquemas tienen nombres como carry select, carry lookahead y el pseudocarry de Ling . Muchas implementaciones son, de hecho, híbridos de estos tres últimos diseños. ^{[44] [45]} A diferencia de la suma en papel, la suma en una computadora a menudo cambia los sumandos. En el ábaco antiguo y en el tablero de adición, ambos sumandos se destruyen, quedando solo la suma. La influencia del ábaco en el pensamiento matemático fue lo suficientemente fuerte como para que los primeros textos latinos a menudo afirmaran que en el proceso de sumar "un número a un número", ambos números desaparecen. ^[46]En los tiempos modernos, la instrucción ADD de un microprocesador a menudo reemplaza la leyenda con la suma, pero conserva la suma. ^[47] En un lenguaje de programación de alto nivel , evaluar a + b no cambia ni a ni b ; si el objetivo es reemplazar a con la suma, esto debe solicitarse explícitamente, generalmente con la declaración a = a + b . Algunos lenguajes como C o C ++ permiten abreviar esto como a + = b .

// Algoritmo iterativo int  add ( int  x ,  int  y )  {  int  carry  =  0 ;  while  ( y  ! =  0 )  {  carry  =  AND ( x ,  y );  // Y lógico  x  =  XOR ( x ,  y );  // XOR lógico  y  =  acarreo  <<  1 ;  // desplazamiento de bits a la izquierda por uno  }  return  x ;  }// Algoritmo recursivo int  add ( int  x ,  int  y )  {  return  x  if  ( y  ==  0 )  else  add ( XOR ( x ,  y ),  AND ( x ,  y )  <<  1 ); }

En una computadora, si el resultado de una suma es demasiado grande para almacenarlo, se produce un desbordamiento aritmético que da como resultado una respuesta incorrecta. El desbordamiento aritmético imprevisto es una causa bastante común de errores de programa . Estos errores de desbordamiento pueden ser difíciles de descubrir y diagnosticar porque pueden manifestarse solo para conjuntos de datos de entrada muy grandes, que es menos probable que se utilicen en pruebas de validación. ^[48] El problema del año 2000 fue una serie de errores en los que se produjeron errores de desbordamiento debido al uso de un formato de 2 dígitos durante años. ^[49]

Suma de números

Para probar las propiedades habituales de la adición, primero se debe definir la adición para el contexto en cuestión. La suma se define primero en los números naturales . En la teoría de conjuntos , la suma se extiende luego a conjuntos progresivamente más grandes que incluyen los números naturales: los números enteros , los números racionales y los números reales . ^[50] (En educación matemática , ^[51] las fracciones positivas se suman antes de que se consideren los números negativos; esta es también la ruta histórica. ^[52] )

Números naturales

Hay dos formas populares para definir la suma de dos números naturales a y b . Si uno define los números naturales como cardinalidades de conjuntos finitos (la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos en el conjunto), entonces es apropiado definir su suma de la siguiente manera:

• Deje N ( S ) sea la cardinalidad de un conjunto S . Tome dos conjuntos disjuntos A y B , con N ( A ) = a y N ( B ) = b . Entonces a + b se define como${\displaystyle N(A\cup B)}$. ^[53]

Aquí, A ∪ B es la unión de A y B . Una versión alternativa de esta definición permite que A y B posiblemente se superpongan y luego toma su unión disjunta , un mecanismo que permite que los elementos comunes se separen y, por lo tanto, se cuenten dos veces.

La otra definición popular es recursiva:

• Sea n ⁺ el sucesor de n , que es el número que sigue a n en los números naturales, entonces 0 ⁺ = 1, 1 ⁺ = 2. Defina a + 0 = a . Defina la suma general de forma recursiva mediante a + ( b ⁺ ) = ( a + b ) ⁺ . Por tanto, 1 + 1 = 1 + 0 ⁺ = (1 + 0) ⁺ = 1 ⁺ = 2 . ^[54]

Nuevamente, existen variaciones menores sobre esta definición en la literatura. Tomada literalmente, la definición anterior es una aplicación del teorema de recursividad en el conjunto parcialmente ordenado N ² . ^[55] Por otro lado, algunas fuentes prefieren usar un teorema de recursividad restringida que se aplica solo al conjunto de números naturales. Uno entonces considera un a ser temporalmente "fijo", se aplica la recursividad en b para definir una función de " un  +", y pastas de estas operaciones unarios para todo un conjunto para formar la operación binaria completa. ^[56]

Esta formulación recursiva de la adición fue desarrollada por Dedekind ya en 1854, y la ampliaría en las décadas siguientes. ^[57] Demostró las propiedades asociativas y conmutativas, entre otras, mediante inducción matemática .

Enteros

La concepción más simple de un número entero es que consta de un valor absoluto (que es un número natural) y un signo (generalmente positivo o negativo ). El número entero cero es un tercer caso especial, que no es ni positivo ni negativo. La definición de adición correspondiente debe proceder por casos:

• Para un número entero n , sea | n | sea ​​su valor absoluto. Deje una y b ser números enteros. Si bien una o b es cero, lo tratan como una identidad. Si a y b son positivos, defina a + b = | a | + | b | . Si a y b son negativos, defina a + b = - (| a | + | b |) . Si una y b tienen diferentes signos, definir una+ b para ser la diferencia entre | a | y | b |, con el signo del término cuyo valor absoluto es mayor. ^[58] Como ejemplo, −6 + 4 = −2 ; debido a que −6 y 4 tienen signos diferentes, sus valores absolutos se restan, y dado que el valor absoluto del término negativo es mayor, la respuesta es negativa.

Aunque esta definición puede ser útil para problemas concretos, el número de casos a considerar complica innecesariamente las pruebas. Entonces, el siguiente método se usa comúnmente para definir números enteros. Se basa en la observación de que todo entero es la diferencia de dos enteros naturales y que dos de esas diferencias, a - b y c - d son iguales si y solo si a + d = b + c . Entonces, uno puede definir formalmente los enteros como las clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales bajo la relación de equivalencia

( a , b ) ~ ( c , d ) si y solo si a + d = b + c .

La clase de equivalencia de ( a , b ) contiene ( a - b , 0) si a ≥ b , o (0, b - a ) en caso contrario. Si n es un número natural, se puede denotar + n la clase de equivalencia de ( n , 0) , y por - n la clase de equivalencia de (0, n ) . Esto permite identificar el número natural n con la clase de equivalencia + n.

La suma de pares ordenados se realiza por componentes:

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

Un cálculo sencillo muestra que la clase de equivalencia del resultado depende solo de las clases de equivalencias de los sumandos y, por lo tanto, esto define una adición de clases de equivalencia, es decir, enteros. ^[59] Otro cálculo sencillo muestra que esta adición es la misma que la definición de caso anterior.

Esta forma de definir enteros como clases de equivalencia de pares de números naturales, se puede utilizar para incrustar en un grupo cualquier semigrupo conmutativo con propiedad de cancelación . Aquí, el semigrupo está formado por números naturales y el grupo es el grupo aditivo de números enteros. Los números racionales se construyen de manera similar, tomando como semigrupo los números enteros distintos de cero con la multiplicación.

Esta construcción también se ha generalizado bajo el nombre de grupo Grothendieck al caso de cualquier semigrupo conmutativo. Sin la propiedad de cancelación, el homomorfismo de semigrupo del semigrupo al grupo puede ser no inyectivo. Originalmente, el grupo de Grothendieck era, más específicamente, el resultado de esta construcción aplicada a las clases de equivalencias bajo isomorfismos de los objetos de una categoría abeliana , con la suma directa como operación de semigrupo.

Números racionales (fracciones)

La suma de números racionales se puede calcular utilizando el mínimo común denominador , pero una definición conceptualmente más simple implica solo la suma y la multiplicación de enteros:

• Definir ${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

Como ejemplo, la suma ${\displaystyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}$.

La suma de fracciones es mucho más sencilla cuando los denominadores son iguales; en este caso, uno puede simplemente sumar los numeradores dejando el denominador igual:${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}}$, asi que ${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}}$. ^[60]

La conmutatividad y asociatividad de la suma racional es una consecuencia fácil de las leyes de la aritmética de enteros. ^[61] Para una discusión más rigurosa y general, ver campo de fracciones .

Números reales

Adición de π ² /6 y e utilizando cortes de Dedekind de los racionales.

Una construcción común del conjunto de números reales es la terminación de Dedekind del conjunto de números racionales. Un número real se define como un corte de racionales de Dedekind : un conjunto no vacío de racionales que se cierra hacia abajo y no tiene el elemento mayor . La suma de los números reales a y b se define elemento a elemento:

• Definir ${\displaystyle a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}.}$^[62]

Esta definición fue publicada por primera vez, en una forma ligeramente modificada, por Richard Dedekind en 1872. ^[63] La conmutatividad y asociatividad de la adición real son inmediatas; Al definir el número real 0 como el conjunto de racionales negativos, se ve fácilmente como la identidad aditiva. Probablemente la parte más complicada de esta construcción relacionada con la suma es la definición de inversos aditivos. ^[64]

Adición de π ² /6 y e utilizando secuencias de Cauchy de números racionales.

Desafortunadamente, lidiar con la multiplicación de cortes de Dedekind es un proceso caso por caso que requiere mucho tiempo, similar a la suma de números enteros con signo. ^[65] Otro enfoque es la compleción métrica de los números racionales. Un número real se define esencialmente como el límite de una secuencia de racionales de Cauchy , lim  a _n . La suma se define término por término:

• Definir ${\displaystyle \lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n}).}$^[66]

Esta definición fue publicada por primera vez por Georg Cantor , también en 1872, aunque su formalismo fue ligeramente diferente. ^[67] Hay que demostrar que esta operación está bien definida y se trata de secuencias co-Cauchy. Una vez realizada esa tarea, todas las propiedades de la suma real se derivan inmediatamente de las propiedades de los números racionales. Además, las otras operaciones aritméticas, incluida la multiplicación, tienen definiciones análogas y sencillas. ^[68]

Números complejos

La suma de dos números complejos se puede hacer geométricamente construyendo un paralelogramo.

Los números complejos se suman sumando las partes real e imaginaria de los sumandos. ^{[69] [70]} Es decir:

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.}$

Usando la visualización de números complejos en el plano complejo, la suma tiene la siguiente interpretación geométrica: la suma de dos números complejos A y B , interpretados como puntos del plano complejo, es el punto X obtenido al construir un paralelogramo tres de cuyos vértices son O , A y B . De manera equivalente, X es el punto tal que los triángulos con vértices O , A , B y X , B , A son congruentes .

Generalizaciones

Hay muchas operaciones binarias que pueden verse como generalizaciones de la operación de suma en los números reales. El campo del álgebra abstracta se ocupa fundamentalmente de tales operaciones generalizadas, y también aparecen en la teoría de conjuntos y la teoría de categorías .

Álgebra abstracta

Vectores

En álgebra lineal , un espacio vectorial es una estructura algebraica que permite sumar dos vectores cualesquiera y escalar vectores. Un espacio vectorial familiar es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales; el par ordenado ( a , b ) se interpreta como un vector desde el origen en el plano euclidiano hasta el punto ( a , b ) en el plano. La suma de dos vectores se obtiene sumando sus coordenadas individuales:

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

Esta operación de suma es fundamental para la mecánica clásica , en la que los vectores se interpretan como fuerzas .

Matrices

La suma de matrices se define para dos matrices de las mismas dimensiones. La suma de dos matrices A y B m × n (pronunciadas "m por n") , denotadas por A + B , es nuevamente una matriz m × n calculada sumando los elementos correspondientes: ^{[71] [72]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

Aritmética modular

En aritmética modular , el conjunto de números enteros módulo 12 tiene doce elementos; hereda una operación de suma de los enteros que es fundamental para la teoría de conjuntos musicales . El conjunto de números enteros módulo 2 tiene solo dos elementos; la operación de adición que hereda se conoce en lógica booleana como función " exclusiva o ". En geometría , la suma de las medidas de dos ángulos a menudo se toma como su suma como números reales módulo 2π. Esto equivale a una operación de suma en el círculo , que a su vez se generaliza a operaciones de suma en toros de muchas dimensiones .

Teoría general

La teoría general del álgebra abstracta permite que una operación de "adición" sea cualquier operación asociativa y conmutativa en un conjunto. Las estructuras algebraicas básicas con tal operación de adición incluyen monoides conmutativos y grupos abelianos .

Teoría de conjuntos y teoría de categorías

Una generalización de gran alcance de la suma de números naturales es la suma de números ordinales y números cardinales en la teoría de conjuntos. Estos dan dos generalizaciones diferentes de la suma de números naturales al transfinito . A diferencia de la mayoría de las operaciones de suma, la suma de números ordinales no es conmutativa. La suma de números cardinales, sin embargo, es una operación conmutativa estrechamente relacionada con la operación de unión disjunta .

En la teoría de categorías , la unión disjunta se considera un caso particular de la operación del coproducto , y los coproductos generales son quizás la más abstracta de todas las generalizaciones de la adición. Algunos coproductos, como la suma directa y la suma en cuña , se nombran para evocar su conexión con la suma.

Operaciones relacionadas

La suma, junto con la resta, la multiplicación y la división, se considera una de las operaciones básicas y se usa en aritmética elemental .

Aritmética

Se puede pensar en la resta como una especie de suma, es decir, la suma de un aditivo inverso . La resta es en sí misma una especie de inversa a la suma, ya que sumar xy restar x son funciones inversas .

Dado un conjunto con una operación de suma, no siempre se puede definir una operación de resta correspondiente en ese conjunto; el conjunto de números naturales es un ejemplo sencillo. Por otro lado, una operación de resta determina de forma única una operación de suma, una operación inversa aditiva y una identidad aditiva; por esta razón, un grupo aditivo puede describirse como un conjunto que se cierra por sustracción. ^[73]

Se puede pensar en la multiplicación como una suma repetida . Si un solo término x aparece en una suma n veces, entonces la suma es el producto de n y x . Si n no es un número natural , el producto aún puede tener sentido; por ejemplo, la multiplicación por −1 produce el inverso aditivo de un número.

Una regla de cálculo circular

En los números reales y complejos, la suma y la multiplicación se pueden intercambiar por la función exponencial : ^[74]

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}.}$

Esta identidad permite realizar la multiplicación consultando una tabla de logaritmos y calculando la suma a mano; también permite la multiplicación en una regla de cálculo . La fórmula sigue siendo una buena aproximación de primer orden en el contexto amplio de los grupos de Lie , donde relaciona la multiplicación de elementos del grupo infinitesimales con la adición de vectores en el álgebra de Lie asociada . ^[75]

Hay incluso más generalizaciones de multiplicación que de suma. ^[76] En general, las operaciones de multiplicación siempre se distribuyen sobre la suma; este requisito se formaliza en la definición de anillo . En algunos contextos, como los números enteros, la distributividad sobre la suma y la existencia de una identidad multiplicativa es suficiente para determinar de forma única la operación de multiplicación. La propiedad distributiva también proporciona información sobre la suma; expandiendo el producto (1 + 1) ( a + b ) en ambos sentidos, se concluye que la suma está obligada a ser conmutativa. Por esta razón, la adición de anillos es conmutativa en general. ^[77]

La división es una operación aritmética relacionada remotamente con la suma. Dado que a / b = a ( b ⁻¹ ) , la división es distributiva a la derecha sobre la suma: ( a + b ) / c = a / c + b / c . ^[78] Sin embargo, la división no se deja distributiva sobre la suma; 1 / (2 + 2) no es lo mismo que 1/2 + 1/2 .

Pedido

Gráfico log-log de x + 1 y max ( x , 1) de x = 0,001 a 1000 ^[79]

La operación máxima "max ( a , b )" es una operación binaria similar a la suma. De hecho, si dos números no negativos a y b son de diferentes órdenes de magnitud , entonces su suma es aproximadamente igual a su máximo. Esta aproximación es extremadamente útil en las aplicaciones de las matemáticas, por ejemplo, al truncar series de Taylor . Sin embargo, presenta una dificultad perpetua en el análisis numérico , esencialmente porque "max" no es invertible. Si b es mucho mayor que a , entonces un cálculo sencillo de ( a + b ) - bpuede acumular un error de redondeo inaceptable , quizás incluso devolviendo cero. Consulte también Pérdida de importancia .

La aproximación se vuelve exacta en una especie de límite infinito; Si bien una o b es un infinito número cardinal , su suma cardinal es exactamente igual al mayor de los dos. ^{[80] En} consecuencia, no existe una operación de resta para infinitos cardinales. ^[81]

La maximización es conmutativa y asociativa, como la suma. Además, dado que la suma conserva el orden de los números reales, la suma se distribuye sobre "max" de la misma manera que la multiplicación se distribuye sobre la suma:

${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c).}$

Por estas razones, en la geometría tropical se reemplaza la multiplicación por la suma y la suma por la maximización. En este contexto, la adición se llama "multiplicación tropical", la maximización se llama "adición tropical" y la "identidad aditiva" tropical es infinito negativo . ^[82] Algunos autores prefieren reemplazar la adición por la minimización; entonces la identidad aditiva es infinito positivo. ^[83]

Al unir estas observaciones, la suma tropical se relaciona aproximadamente con la suma regular a través del logaritmo :

${\displaystyle \log(a+b)\approx \max(\log a,\log b),}$

que se vuelve más precisa a medida que aumenta la base del logaritmo. ^[84] La aproximación puede hacerse exacta extrayendo una constante h , nombrada por analogía con la constante de Planck de la mecánica cuántica , ^[85] y tomando el " límite clásico " cuando h tiende a cero:

${\displaystyle \max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).}$

En este sentido, la operación máxima es una versión descuantificada de la suma. ^[86]

Otras formas de agregar

El incremento, también conocido como operación sucesora , es la suma de 1 a un número.

La suma describe la suma de muchos números arbitrariamente, generalmente más de dos. Incluye la idea de la suma de un solo número, que es él mismo, y la suma vacía , que es cero . ^[87] Una suma infinita es un procedimiento delicado conocido como serie . ^[88]

Contar un conjunto finito equivale a sumar 1 sobre el conjunto.

La integración es una especie de "suma" sobre un continuo , o más precisamente y en general, sobre una variedad diferenciable . La integración sobre una variedad de dimensión cero se reduce a la suma.

Las combinaciones lineales combinan multiplicación y suma; son sumas en las que cada término tiene un multiplicador, generalmente un número real o complejo . Las combinaciones lineales son especialmente útiles en contextos donde la suma directa violaría alguna regla de normalización, como la mezcla de estrategias en la teoría de juegos o la superposición de estados en la mecánica cuántica .

La convolución se usa para agregar dos variables aleatorias independientes definidas por funciones de distribución . Su definición habitual combina integración, resta y multiplicación. En general, la convolución es útil como una especie de adición del lado del dominio; por el contrario, la suma de vectores es una especie de adición del lado del rango.

Ver también

• Aritmetica mental
• Suma paralela (matemáticas)
• Aritmética verbal (también conocida como criptaritmos), acertijos que involucran suma

Notas

1. "Addend" no es una palabra latina; en latín debe conjugarse más, como en numerus addendus "el número que se debe sumar".
2. Algunos autores piensan que "llevar" puede ser inapropiado para la educación; Van de Walle (p. 211) lo llama "obsoleto y conceptualmente engañoso", prefiriendo la palabra "comercio". Sin embargo, "llevar" sigue siendo el término estándar.

Notas al pie

1. De Enderton (p. 138): "... seleccione dos juegos K y L con la tarjeta K = 2 y la tarjeta L = 3. Los juegos de dedos son útiles; los libros de texto prefieren los juegos de manzanas".
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11. Schwartzman p. 19
12. Karpinski págs. 56-57, reproducido en la p. 104
13. Schwartzman (p. 212) atribuye la suma hacia arriba a los griegos y romanos , diciendo que era tan común como sumar hacia abajo. Por otro lado, Karpinski (p. 103) escribe que Leonard de Pisa "introduce la novedad de escribir la suma por encima de los sumandos"; No está claro si Karpinski afirma que se trata de una invención original o simplemente de la introducción de la práctica en Europa.
14. Karpinski págs. 150-153
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17. Ver Viro 2001 para un ejemplo de la sofisticación involucrada en sumar con conjuntos de "cardinalidad fraccionaria".
18. Sumarlo (p. 73) compara la adición de varas de medir con la adición de conjuntos de gatos: "Por ejemplo, las pulgadas se pueden subdividir en partes, que son difíciles de distinguir de los totales, excepto que son más cortas; mientras que es doloroso gatos para dividirlos en partes, y cambia seriamente su naturaleza ".
19. Mosley, F. (2001). Usar rectas numéricas con niños de 5 a 8 años . Nelson Thornes. pag. 8
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48. Joshua Bloch, "Extra, Extra - Lea todo al respecto: casi todas las búsquedas binarias y las clasificaciones de combinación están rotas" Archivado 2016-04-01 en Wayback Machine . Blog oficial de investigación de Google, 2 de junio de 2006.
49. Neumann, Peter G. "The Risks Digest Volume 4: Issue 45" . The Risks Digest . Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2014 . Consultado el 30 de marzo de 2015 .
50. Los capítulos 4 y 5 de Enderton , por ejemplo, siguen este desarrollo.
51. Según una encuesta de las naciones con los puntajes más altos en las pruebas de matemáticas TIMSS; véase Schmidt, W., Houang, R. y Cogan, L. (2002). Un plan de estudios coherente . Educador estadounidense, 26 (2), p. 4.
52. Báez (p. 37) explica el desarrollo histórico, en "marcado contraste" con la presentación de la teoría de conjuntos: "¡Aparentemente, la mitad de una manzana es más fácil de entender que una manzana negativa!"
53. Begle p. 49, Johnson p. 120, Devine y col. pag. 75
54. Enderton p. 79
55. Para obtener una versión que se aplica a cualquier poset con la condición de cadena descendente , consulte Bergman p. 100.
56. Enderton (p. 79) observa: "Pero queremos una operación binaria +, no todas estas pequeñas funciones de un lugar".
57. Ferreirós p. 223
58. K. Smith p. 234, Sparks y Rees p. 66
59. Enderton p. 92
60. Schyrlet Cameron y Carolyn Craig (2013) Sumar y restar fracciones, Grados 5-8 Mark Twain, Inc.
61. Las verificaciones se llevan a cabo en Enderton p. 104 y esbozado para un campo general de fracciones sobre un anillo conmutativo en Dummit y Foote p. 263.
62. Enderton p. 114
63. Ferreirós p. 135; consulte la sección 6 de Stetigkeit und irrationale Zahlen Archivado el 31 de octubre de 2005 en Wayback Machine .
64. El enfoque intuitivo, invirtiendo cada elemento de un corte y tomando su complemento, funciona solo para números irracionales; ver Enderton p. 117 para obtener más detalles.
65. Schubert, E. Thomas, Phillip J. Windley y James Alves-Foss. "Demostración del teorema de la lógica de orden superior y sus aplicaciones: Actas del octavo taller internacional, volumen 971 de". Lecture Notes in Computer Science (1995).
66. construcciones de libros de texto no suelen ser tan arrogantes con el símbolo "lim"; ver Burrill (p. 138) para un desarrollo más cuidadoso y prolongado de la suma con secuencias de Cauchy.
67. Ferreirós p. 128
68. Burrill p. 140
69. Conway, John B. (1986), Funciones de una variable compleja I , Springer, ISBN 978-0-387-90328-6
70. Joshi, Kapil D (1989), Fundamentos de las matemáticas discretas , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-470-21152-6
71. Lipschutz, S. y Lipson, M. (2001). Esquema de teoría y problemas de álgebra lineal de Schaum. Erlangga.
72. Riley, KF; Hobson, diputado; Bence, SJ (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
73. El aparato aún no debe estar vacío. Dummit y Foote (p. 48) discuten este criterio escrito de forma multiplicativa.
74. Rudin p. 178
75. Lee p. 526, Proposición 20.9
76. Linderholm (p. 49) observa: "Por multiplicación , propiamente hablando, un matemático puede significar prácticamente cualquier cosa. Por adición puede significar una gran variedad de cosas, pero no una variedad tan grande como la que quiere decir con 'multiplicación'".
77. Dummit y Foote p. 224. Para que este argumento funcione, todavía se debe suponer que la suma es una operación de grupo y que la multiplicación tiene una identidad.
78. Para ver un ejemplo de distributividad izquierda y derecha, consulte Loday, especialmente p. 15.
79. Compare Viro Figura 1 (p. 2)
80. Enderton llama a esta declaración la "Ley de absorción de la aritmética cardinal"; depende de la comparabilidad de los cardenales y, por tanto, del axioma de elección .
81. Enderton p. 164
82. Mikhalkin p. 1
83. Akian y col. pag. 4
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